九年级数学上册 一元二次方程提高讲义 人教新课标版Word文件下载.docx
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转化为一元一次方程2ax?
bx?
c0（a?
0）用配方法解一元二次方程的一般步骤1、二次项系数化为1：
方程两边都除以二次项系数；
2、移项：
使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）?
0n（n?
（x?
m）把方程化为方程两边都加上一次项系数一般的平方，配方：
3、的形式；
4、用直接开平方法解变形后的方程。
0n?
注意：
当时，方程无解公式法
（2）2）?
0a?
0（?
axb用公式法解一元二次方程的依据是：
将一般形式配方为22ac4bb?
x?
22aa4?
2）0（a?
axbx?
0的求根公式：
再开平方并整理，得出一元二次方程2ac?
4b?
b?
0）ac4（.a21
专心爱心用心．
0ax?
c用公式法解一元二次方程一般步骤：
1、将方程化为一般形式2）（a?
c0；
2acb?
4、确定方程的各系数a，b，c，计算的值；
222ac4?
4ac?
0b?
b的值代入求根公式，得出方程的根以及，b，c，将、当3a
2c?
4a?
xa22?
0b4ac?
、当时，方程无解；
b、公式法是解一元二次方程的万能方法；
注意:
a2ac4b?
c、利用的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；
分解因式法（3）分解因式法的理论依据是：
若两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个等于.
零转化为一元一次方程a?
0或b?
0.0ab?
原理是：
一般步骤如下：
1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4、解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
4.一元二次方程的根的判别式
22一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△＝b-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
5.一元二次方程的根与系数的关系
cb2，，x，那么0）
（1）如果一元二次方程ax+bx+c=0（a≠的两个根是x?
xx?
212121aa2，+x=-P，的两个根是xx，那么x
（2）如果方程x+px+q=02121=q
xx21
1）是x为根的一元二次方程（二次项系数为（3）以x，212．）x+xx=0x-（x+x21122acb=。
－4）再次强调：
根的判别式是指注意：
（1Δc
ba、、
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出的值。
2
有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情）如果说方程（3
2bac≥04切勿丢掉等号。
况，此时－2bac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，－4（4）根的判别式a≠0.因此，要注意隐含条件
6.列方程解应用问题的步骤
①审题，
②设未知数，
③列方程，
④解方程，
⑤答。
四、知识框架
二次项概念
一元二次方程一次项一般形式
常数项
方程的根
直接开根的判别平方法
配方法
根与系数的关系ba
0的解法式法二次三项式的因式分分解法
一元二次方与经济、工程有关的问题的应用与图形有关的问题
与增长（降低）率有关的问题
与数字有关的问题
题型归纳1与利润有关的问
类型1一元二次方程的概念及一般形
其他有关的问___________项系方例1.程数3
.是
m0?
1mm?
2x?
3是关于x的一元二次方程，则（方程例2.）mm?
2A.B.
m?
22m?
D.C.
类型2.一元二次方程的常规解法
220?
1?
5xx?
3?
x2x例22.例1.
2304?
11x?
x2）（x+4）=49例4.（因式分解法）－（x－例3.5）（x+3）+（x
5.例
6.例
2aakak的值可能是（）16+；
+25是一个完全平方式则7.例
（1）若关于的二次三项式2akaak的值可能是（）+1是一个完全平方式则）（2若关于。
的二次三项式+4
类型3.一元二次方程判别式的应用
①不解一元二次方程，判断根的情况。
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
22xxaxbxa≠0）4=0
（2）+（=021（）+3－
4
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
2kxxxk－+－例2．的何值时？
关于4的一元二次方程5=0
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根；
2x0?
1kx?
2k的的一元二次方程例3.（2009成都）若关于有两个不相等的实数根，则取值范围是什么？
证明字母系数方程有实数根或无实数根。
③
222xx没有实数根。
）=0+（m+1例4．求证方程（m）+4－2m
应用根的判别式判断三角形的形状。
④
20?
12x?
35x?
的，第三边的长是方程32009年黄石市）三角形两边的长是和4例5.（）根，则该三角形的周长为（
D．以上都不对C．12或1412A．14B．
，且关于1，ｃ＝4（重庆市江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝6例．20?
4x?
bx的形状。
有两个相等的实数根，试判断△的方程xABC
22xxbaccxb）（时，关于、、Δ为ABC的三边，当m>
0m的方程（++m）－7例．已知：
ax。
2ΔRt为ABCΔ有两个相等的实数根。
求证=0－
5
⑤判别式的综合应用
2ax06?
8x（a?
6）x?
的最大值是（例8．（09年潍坊）关于的方程有实数根，则整数）
A．6B．7
C．8
D．9
22x?
14m?
8?
3）x?
4mx0?
2（2m?
）已知：
关于的一元二次方程例9.（一模东城23m?
0,求证：
方程有两个不相等的实数根；
）若（1m的值．＜40的整数，且方程有两个整数根，求
（2）若12＜m
2（a?
（aax?
0至少有一个整数解，关于x的方程例10.（09一模密云县23）且a是整数，求a的值.
2x0k?
kx?
2x．的一元二次方程例11.（模昌平23）已知：
关于k的取值范围；
（1）若原方程有实数根，求y
4xx，．
（2）设原方程的两个实数根分别为2132xxk，①当均为整数；
取哪些整数时，121O4312-4-3-2-1K0x?
kk-1的解．②利用图象，估算关于的方程21-24.根与系数的关系类型-3㈠已知一个根，求另一个根和参数的值-420?
kx65xk，求它的另一个根及的值的一个根是21例：
已知方程
6
㈡已知一个根，求代数式的值
201?
3x?
2x两根的：
：
利用根与系数的关系，求一元二次方程例2.
（2）倒数和
（1）平方和；
㈢求作新的二次方程20?
x2x?
9，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒：
已知方程例3数，另一根为原方程两根差的平方．
㈣证明等式和不等式韦达定理和根的判别式结合，可以讨论根的符号特征，并且证明一些等式和不等式问题29z?
xy?
yx?
6z、x、y例4：
已知实数，满足，yx?
求证：
一元二次方程的应用5.类型常规应用题：
类型1：
降价促销。
千克，经元，每天可售出500101.例某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利千克，20市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少7
现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
类型2:
面积问题。
例2.课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
：
利率、增长率问题。
类型3以后每年年终将当年年初投人资金相加万元进行商品经营，某商场于第一年初投入50例3.所得的总资金作为下一年年初投人资金，继续进行经营，如果第二年的年获利率比第一％的和人第1010个百分点门第二年的年获利率是第一年的年获利率与年的年获利率多万元，求第一年的年利率．二年年终的总资金为66
4：
转化分式方程类型开某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服．“SARS”的过程中，例4.在抗击天，这时，甲件时，乙比甲多做了23件，到甲、乙两人都剩下80始时，乙比甲每天少做乙两人同时完成了件，这样甲、保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5任务．求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服？
课后练习及课后作业：
1.
20n?
mx?
nnmnx）的值为（（1.2009东营）若（的根，则）是关于的方程+-2
D）（2（C）-1BA（）1（）2xaaxbxcx，则两+，＝0（≠0）的两根为年兰州）阅读材料：
设一元二次方程（2.2009+218
bcxxxxx、根据该材料填空：
已知＝，根与方程系数之间有如下关系：
.+·
＝－12112
aaxx122xxx+的两实数根，则的值为是方程．+6+3＝02
xx
212+6=0没有实数根，那么a的最小整数值2x（ax－4）－x3.如果关于x的一元二次方程是。
2a?
00）ax?
0（a，那么我满足4.（株洲市）定义：
如果一元二次方程2?
0（aa
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