人教课标版高中数学必修二《棱锥棱台》教案新版Word格式.docx

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有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；

有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；

各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；

相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

棱台定义：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面；

其他各面叫做棱台的侧面；

相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；

底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点．

2．预习自测

（1）棱锥的底面不可能是（）

A．三角形B．矩形C．梯形D．圆

【答案】D．

【知识点】棱锥定义

【解题过程】棱锥底面为多边形，A、B、C均为多边形，故选D.

【思路点拨】熟记棱锥定义.

（2）棱台的上底面和下底面所表示的多边形一定（）

A．全等B．相似C．周长相等D．面积相等

【答案】B．

【知识点】棱台定义

【解题过程】用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面平行且相似.故选B.

【思路点拨】棱台的两个底面平行且相似.

（3）下列关于棱锥的说法正确的是（）

A．棱锥的侧面是全等的三角形

B．棱锥的侧棱可以互相平行

C．棱锥只有一个顶点

D．棱锥的底面可以是正方形

（二）课堂设计

1．知识回顾：

上节课我们主要学习了棱柱，我们一起回忆一下：

（1）两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．

（2）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

（3）按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．

（4）底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．

2．问题探究

探究一类比棱柱，讨论棱锥★

●活动①棱锥的分类

我们按底面多边形的边数，将棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

棱锥的表示方法：

用表示顶点和底面的字母表示

上图从左到右，依次表示三棱锥

、四棱锥

、五棱锥

……，

大家观察图形，思考下列问题：

（1）三棱锥有几个顶点？

几个表面？

几条棱？

（2）四棱锥有几个顶点？

（3）五棱锥有几个顶点？

（4）一般的，n棱锥有几个顶点？

答案：

n棱锥有n+1个顶点，n+1个表面，2n条棱．

【设计意图】从棱柱到棱锥，类比，联想，归纳，猜想，引导学生得出棱锥的相关结论．

●活动②正棱锥的定义

请大家回忆上节课给正棱柱下的定义？

底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．

大家尝试给正棱锥下个定义？

正棱锥：

底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥．

正棱锥具有下列性质：

（1）底面是正多边形．

（2）顶点在底面的射影是底面的中心．

（3）侧棱长度相等．

（4）每个侧面都是全等的等腰三角形．

特别的，侧棱和底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体．

正四面体的性质如下：

（1）正四面体的六条棱长全部相等．

（2）正四面体的每个表面均为正三角形．

【设计意图】从棱锥到正棱锥，从一般到特殊，从正棱柱到正棱锥，类比联想，加深对棱锥内涵与外延的理解，突破重点．

●活动③正棱锥的判定

判断一个棱锥是否为正棱锥的方法就是看它是否满足正棱锥的定义．抓住正棱锥定义中的关键条件：

底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心．

大家来做几道判断题：

（1）正三棱锥都是正四面体．

（2）侧棱长度均相等的三棱锥一定是正三棱锥．

（3）每个侧面都是等腰三角形的棱锥一定是正棱锥．

答案：

（1）错误；

（2）错误；

（3）错误．

我们一起来辨析：

分析

（1）：

正四面体是特殊的正三棱锥，但是正三棱锥未必是正四面体．

分析

（2）：

只要顶点在底面的射影为底面三角形的外心，则该三棱锥侧棱长度相等．此时底面未必是正三角形．

分析（3）：

底面是正多边形的条件没有体现出来．

【设计意图】用判断题的形式分析概念，便于学生加深对概念的理解．

探究二棱台的分类及性质

●活动①给棱台分类

结合我们给棱柱和棱锥的分类，你能对棱台进行分类吗？

按照底面多边形的边数，我们给棱台分类：

三棱台、四棱台、五棱台、六棱台等

练习：

请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.

类比正棱柱和正棱锥的定义，我们给出正棱台的定义．

正棱台：

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

【设计意图】引导学生独立探究，培养学生举一反三的能力．

●活动②棱台的判定

结合棱台定义，我们可以判定几何体是否为棱台．

由于棱台是从棱锥上截出来的，那么它就有一个重要的特征：

所有侧棱延长之后必须交于同一个点．这是我们判断几何体是否为棱台的主要依据．

思考：

下列几何体中，那些是棱台？

全部都不是棱台，其中第四个图是圆台，而非棱台．

【设计意图】判断几何体是否为台体非常重要，以后我们要学习台体的体积公式，若几何体并非台体，则不可以套用台体的体积公式．

探究三棱柱，棱锥，棱台的比较★

●活动①归纳梳理、理解提升

目前我们学完了棱柱、棱锥、棱台，大家将它们的性质作一些比较？

可以用表格的形式进行对比分析．

结构特征

棱柱

棱锥

棱台

定义

两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱

有一面为多边形，其

余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台

底面

两底面是全等的多边形

多边形

两底面是相似

的多边形

侧面

平行四边形

三角形

梯形

侧棱

平行且相等

相交于顶点

延长线交于一点

平行于底面的截面

与两底面是全等的多边形

与底面是相似的多边形

与两底面是相似的多边形

过不相邻两侧棱的截面

【设计意图】通过列表、填表、培养学生的归类整理意识．

●活动②巩固基础，检查反馈

例1列命题中正确的是（）

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D．棱台各侧棱的延长线交于一点

【知识点】棱柱，棱锥，棱台的定义与性质．

【数学思想】

【解题过程】选项A,B,C均与定义不相符，选项D为棱台的性质．

【思路点拨】对比概念逐一判断．

同类训练如下图，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A.

（1）是棱台B.

（2）是圆台

C.（3）是棱锥D.（4）不是棱柱

【知识点】棱柱，棱锥，棱台的定义．

【解题过程】逐一判断可知（3）表示三棱锥．

【思路点拨】使用定义逐一检验．

【答案】C．

例2下列叙述，其中正确的有（填序号）

①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；

②三棱锥不是四面体；

③棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥．

【解题过程】在①中，侧棱延长线未必交于一点；

在②中，三棱锥是四面体；

只有③正确．

【思路点拨】准确理解棱柱、棱锥、棱台的定义．

【答案】③．

同类训练

（1）判断如下图所示的几何体是不是棱台？

为什么？

（2）如下图所示的几何体是不是锥体？

【解题过程】

（1）①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；

虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．

（2）都不是．因为棱锥定义中要求：

各侧面有一个公共顶点，但图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体．图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．

【思路点拨】抓住棱柱、棱锥、棱台定义中的核心要素进行判断．

【答案】

（1）都不是；

（2）都不是．

【设计意图】进一步掌握棱柱、棱锥、棱台的定义与性质．

●活动③强化提升、灵活应用

例3给出两块正三角形纸片（如下图所示），要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．

【知识点】棱柱、棱锥的定义．

【数学思想】构造．

如图

（1）所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．

如图

（2）所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的

，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．

【思路点拨】多次尝试，构造符合题意的几何体．

【答案】见解题过程．

3.课堂总结

知识梳理

（1）有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥．

（2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．

（3）底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫正棱锥．

（4）由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

重难点归纳

（1）使用定义判断几何体的种类是，一定抓住定义的核心要求．

（2）棱台的根本性质：

侧棱所在直线交于同一个点．

（三）课后作业

基础型自主突破

1．四棱台有（）条棱

A．4B．8C．12D．16

【知识点】棱台性质．

【数学思想】数形结合

【解题过程】四棱台有两个底面，每个底面有四条边，还有四条侧棱，共12条棱．

【思路点拨】画出四棱台的直观图分析即可．

2．已知某个棱锥有10条棱，则这个棱锥有（）个表面

A．5B．6C．7D．8

【知识点】棱锥性质．

【数学思想】方程思想

【解题过程】由于

棱锥有

个表面，

条棱．故

【思路点拨】设未知数，列方程求解．

3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）

A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4

B．A1Bl＝1，AB＝2，BlCl＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3

C．AlBl＝1，AB＝2，B1Cl＝1.5，BC＝3，AlCl＝2，AC＝4

D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1

【知识点】棱台的性质．

【解题过程】注意棱台侧棱所在直线必须交于同一个点．结合相似三角