16晶体对称性重点Word文档下载推荐.docx

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«

23

&

丿

坷2

33丿

两点间的距离保持不变,

X=

经过某一对称操作，把晶体中任一点X（心,工2，®

）变为X'

（玮无；

，疋）可以用线性变换来表示.

操作前后，

0点和尤点间距与0点和X点间距相等.

x/+寸+X32=xr+x；

2+x；

2

UESTC一、旋转

1.旋转对称操作

设晶体外形为一立方体，沿图中所示转轴转动905外形与原来重合。

这样的转动称为转动对称操作。

该轴

称为转动轴。

如果转动180"

等晶体都

保持外形重合。

是晶列上最近邻两格点的距离。

=n^AB=AB4-AB^cos04-BA^cos0=AB（1+2cos^）

死'

是整数。

cos0=

n-\

•••cos0=~,口・1<

85&

<

1,「5'

只能取值：

3,2丄0,-1。

//:

3

1

-1；

COS0：

1

0.5

-0.5

-1

e:

0

兀

2兀

3

6

4

亠2/r

n=

1,2,3,4,6b

别牙尔

为1,2,3,4,6次1度丿转轴。

UESTC3.度旋转对称轴:

:

晶体绕某一固定轴M旋转角度2加2以后，能自身重合，则称M为W度（或W次）旋转对称轴。

W只能取1，2,3,4,6。

晶体不能有5度或6度以上的转轴。

（2）对称轴表示方式

1熊夫利（Schoenfliesnotation）符号表示

5C2、555

2国际符号（Internationalnotation）表示

1、2、3、4、6。

（a）

正三角形.

（b）

正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列.正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列。

Penrose拼接图案

UESTC二、中心反演（中心反映）

如图所示，有对称心i,晶体中

o'

A'

任一点4过中心i连线Ai并延长到使4f与A'

是等同点，i

点称为对称心。

2•表示方式

（1）熊夫利符号表示一i

（2）国际符号表示一1

例：

立方体的中心就是对称中心。

如果将对称心放在坐标原点上，则有点与点等同。

取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点

（曲,兀2，兀3）变为

/

/、

00）

9

=A

-10

宀丿

0-1丿

UESTC三、镜象（镜面反映、对称面）

如图所示，和A'

等同，如同镜子一样。

（1）熊夫利符号表示一b

（2）国际符号表示一加。

O-xy相当于镜面o

如以X3=（）面作为对称面，镜象是将图形的任何一点

UESTC四、〃度旋转一反演轴（象转轴）

1・象转轴

（1）定义

先绕"

轴转动2加2,再经过中心反演，晶体自动重合，则称M轴为W度旋转一反演轴，又称为"

度象转轴。

只有1,2,3,4,6。

⑵符号表示霊2戈＜6

2•〃度象转轴简析

度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分

析，可以得到象旋转轴只有4是独立的。

UESTC

（1）1象转轴—实际上就是对称心/

点绕旋转轴（Z轴）

旋转3600,再经过

中心反演到4点,

（-x-y-z）

A，

UESTC⑵2象转轴一实际上就是镜象勿

+对称心Q）

UESTC（3）3象转轴一实际上就是3度转轴

UESTC（4）6象转轴一实际上就是3度转轴：

：

+镜面（2Z7）

3’!

7

2’I

UESTC（5）4象转轴

结论：

晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作：

1,2,3,4,6，1,"

4。

这些基本的操作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观操作类型。

熊夫利符号：

CpGCpCpC；

仏b'

Sj

UESTC晶体的宏观对称类型:

八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。

由此，推出晶体所属的32个点群。

G

C3

C4

Cs

C2h

C3h

^4h

^6h

C2V

C3V

C4V

C6¥

D2

D3

Dj

D6

D2h

D3h

D"

%h

D2d

Djd

5

S4

轴

轴一Ill—/正四面体正八面体

点群（32种）

Schdnflies符号：

用主轴+脚标表示

主轴:

Cn、巩、Sn、T和O

C„：

n次旋转轴

Sn：

n次旋转一反映轴

V、d

垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面含n次轴（主轴）在内的竖直对称面垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面

D„：

n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴T：

四面体群O：

八面体群

脚标:

h、

h：

V：

d：

国际符号：

以特征方向的对称性来表示

所丽秦骤祚都可由这8种操作或它们的组合来完成.一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。

对称性不同的晶体属于不同的群.由旋转.中心反演.镜象和旋转一反演点对称操作构成的群，称作点群。

理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对

称操作类型。

这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理

性质在不同方向上的对称性。

所以又称宏观对称性。

如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面.

UEST^、晶体的微观对称操作

晶体绕《轴每转2尬角度后，再沿该轴的方向平移卩加的/倍，则晶体中的原子和相同的原子重合（其中/为小于刃的整数；

卩为沿H轴方向上的周期矢量）。

晶体只能有I,2,3,4,6度螺旋轴。

如图所示，为4度螺旋轴。

晶体绕

轴转9（）0后，再沿该轴平移4/4,能自身重合。

立方系的对称性简析。

Cl

▼

土

UESTC（4）三个和四度轴垂直的对称面

UESTC（3）六个2度轴

（5）六个和2度轴垂直的对称面

1•绕三个立方轴转动；

T

Hi

Bls

UESTC4•绕6条面对角线轴转动龙加上中心反演

UESTC例题3正六面柱的对称性分析

转动2驾勞I

2.绕对棱中点连线转动兀3.绕相对面中心连线转动兀

4•正交变换

5.以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作

正六面柱的对称操作有24个

$

A6v=6v=0

■

UESTC:

n

学區删电场同时绕Y轴转动诃2」—JCIT匕XT廿

D'

=D=£

E

Xzcv

=D=£

\X\'

V

♦♦

2=-2=%E

转动的实施

——电场没变

——同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别

S=6-VVcv

s=—sXXcv

•♦

假设电场沿z轴方向将晶体和电场同时绕Z轴转动n/2

卷=£

代=0

再取电场方向沿［in］方向

D=£

E/y/3D=£

E/y/3

正四面体晶体上述结论亦然成立

介电常数的论证和推导也适合于一切具有

二阶张量形式的宏观性质：

如导电率、热导率……等