向量的坐标表示及其运算Word文档下载推荐.docx
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例2下列说法中错误的是（A
••
）
A.零向量是没有方向的
B.零向
量的长度为0
C.零向量与任一向量平行
D.零向
量的方向是任意的
例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是
2）向量坐标的有关概念
1基本单位向量：
在平面直角坐标系中，方向分别与X轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和L
2将向量a的起点置于坐标原点o，作oA=a，则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为（X,y），它在
X轴和y轴上的投影分别为m,n,则
T—IT屮T耳屮
OA=OMON,a=OA=xiyj.
3向量的正交分解
在②中，向量OA能表示成两'
订
个相互垂直的向量7、1分别乘上……]|实数x,y后组成的和式，该和式称由厶
为?
、j的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对（xy叫做向量a的坐标，记为a=（x,y）.
一般地，对于以点P（xi,yj为起点，点P2（X2』2）为终点的向量PP2，容易推得PP2=（X2-Xi）；
⑴-yi）1，于是相应地就可以把有序实数对（x^xi,y^y）叫做寵的坐标，记作RP?
=仇-Xi,y?
-%）.
3）向量的坐标运算：
a=（xi,yi）,b=（X2,y2），丸ER
贝yab=（XiX2,yiy?
）；
a—b=（x—x?
%-y?
）;
■a=CXi,-x?
）.
4）向量的模：
设a=（x,y）,由两点间距离公式，可求得向量a的模（norm）.
a|=Jx2匚y2.
注：
①向量的大小可以用向量的模来表示,即用向量的起点与终点间的距离来表示；
2向量的模是个标量，并且是一个非负
实数.
例4已知点A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（一3,0）,且AP=4,BP=3，求点P的坐标.
解：
点p的坐标为（-6.，12）或（一|,一¥
5555
例5已知2；
匸（一4,3）,a一2匸（3,4），求a、b的坐标.解:
^（-1,2）,b=（一2,一1）
例6设向量a,b,c,」r，化简：
（1）Lab-c）7ab-c）（.—）（b-c）；
（2）2（5，b-亠c）-，（2」a2b）2」c.
—1-0
2.向量平行的充要条件
平行向量：
方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）.已知a与b为非零向量，若a=（x,,yJ,b=（X2，y2）,则a//b的充要条件是細2=%2%，所以，向量平行的充要条件可以表示为：
H444
a//b=a=，b（其中■为非零实数）二x,y2=x2y1.
例7已知向量；
=（-2,3）,点A（2,-1）,若向量AB与a平行，且AB=2.'
13，求向量OB的坐标.
OB的坐标为（6,-7）或（_2,5）.
3.定比分点公式
1）定比分点公式和中点公式
①Pi,F2是直线I上的两点，P是I上不同于Pi,F2的任一点，存在实数-，
使pp=/PP2，'
叫做点p分葩所成的比，有三种情
况：
一
>
<
-1
（外分）-1<
<
②已知Pi（Xi,y、P2（X2,y2是直线I上任一点，且PP=九pp•（川R,"
i）.P是直线PP2上的一
式叫做线段PP2的定比分点公式，特别地扎=1时，P
!
X=
为线段PiP2的中点，此时｛，叫做线段PiP2的中点公式.
①pp「*pP可得
②当一1时，定比分点的坐标公式X」生和
1+Z
八—显然都无意义，也就是说，当一1时，定
1+人
比分点不存在•
2）二角形重心坐标公式
设ABC的三个点的坐标分别为A（xi,yi）,B（X2,y2）,C（X3,y3），
IXg=的重心，贝V
I
例8在直角坐标系内R（4,—3）冋—2,6），点P在直线
RP2上，且PP=2，PP?
，求出P的坐标.
当P在PP2上时，P（0,3）；
当P在PP2延长线上，
P（-8,15）.
例9已知A（3一，BI）,一（,P是直线AB上一点，若
II
2AP=3AB，求点P的坐标.
几个重要结论
i.若a,b为不共线向量，则ab,i-b为以a,b为邻边的平行四边形的对角线的向量；
斗*
2
■4
4
a+b‘+
a—b
=2（
a
+
b
2.
3.G为ABC的重心二GAGB観暑二G（X^33,_U^3）
33
[A（x,y）B2X2yC3Xy）]
【基础夯实】
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由•
1向量AB与CD是共线向量，则ABCD四点必在一直线上；
2单位向量都相等；
3任一向量与它的相反向量不相等；
4四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=
5模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
6共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：
①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.
2不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
3不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
4、⑤正确.⑥不正确.如图|「AC
与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：
本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
2.下列命题正确的是（C）
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是
一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
3.在下列结论中，正确的结论为（D）
（1）a//b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
（2）a//b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
（3）a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
（4）a与b方向相反或|a|半|b|是b的充分不必要条件
A.⑴⑶B.
（2）（4）C.（3）（4）
D.
（1）（3）（4）
4.已知点A分有向线段bc的比为2,则在下列结论中错误的是（D）
A.点C分ab的比是-1B.点
3
C分BA的比是-3
C点C分AC的比是-|D•点
A分CB的比是2
5.已知两点R（-1「6）、P2（3,0）,点p（_7，y）分有向线段P1P2所成的比为•，则•、y的值为（C）
A—*沁
B.”8C—
1，-8D「，I
6.△ABC的两个顶点A（3,7）和B（-2,5），若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（A）
A（2，-7）B（-7，2）
C（-3，-5）D（-5，-3）
7."
两个向量共线"
是"
这两个向量方向相反"
的条件.
答案：
必要非充分
8.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线，若
非零向量c与a共线，则c与b必定.
不共线
9.已知点A（x,2）,B（5,1）,C（-4,2x）在同一条直
线上，那么x=-
2或2
10.△ABC的顶点A（2,）,B（-4,2）和重心G（2,
-1），则c点坐标为.
（8,-4）
11.已知抽为厶ABC边AB上的一点，且SAMC=—S^BC，
8
则M分AB所成的比为
答案:
12.已知点A=（-1,-4）、B（5,2），线段AB上的三等分点依次为Pi、P2，求Pi、P2点的坐标以及A,B分PP2所成的比•.
Pi（1,-2）,P2（3,0）,A、B分丽2所成的比入
1、入2分别为-丄,-2
13.过r（i,3）、P2（7,2）的直线与一次函数y=|x5的图
55
象交于点P，求P分呢所成的比值.
-
12
14.已知平行四边形ABCD—个顶点坐标为A（-2,1），—组对边AB、CD的中点分别为M（3,
0）、N（-1,-2），求平行四边形的各个顶点坐标•
E（8,—1）,C（4,—3）,D（—6,-1）
15.设P是ABC所在平面内的一点，BC=2BP,则
（B）
T（A）.（B）.
PCPA=0
（D）.
—ICLPBpC^0
PAPB+PC=0
16.若平面向量a,b满足a+b=i,:
+b平行于x轴,
■I［斗
b=（2,-1），贝Sa=（-1,1）或（-3,1）.
仃.在厶ABC中，点P在BC上，且BP=2PC,点Q是AC的中点.若PA=（4,3）,PQ=（1,5）,则BC等于（）
A.（—6,21）B.（—2,7）
C.（6,—21）D.（2,—7）
解析：
选A.AC=2AQ=2（PQ—PA）=（—6,4）,PC=PA+AC=（—2,7）,BC=3PC=（—6,21）.
18.已知O为坐标原点，向量OA=（-2,m）,OB=（n,1）,OC=（5,-1）.若A,B,C三点共线，且m=2n，求实数m,n的值
19.已知点A（3,0）,B（-1,-6）,P是直线AB上一点，且iap^^iAbi，求点P的坐标.
20.已知向量m=（cos0,sin日）币口n=（72—sin0,cos0）,0乏（兀,2兀）,且|mn|=8<
2，求cos（28）的值。
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