第六章功和能Word文档格式.docx

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[解题方法指导]

[例1]汽车以额定功率从静止开始行驶时，一定是　　　[　]

A．速度变大，加速度也变大B．速度变小，加速度也变小

C．速度变大，而加速度变小D．速度最大时，牵引力一定也最大

[分析]当汽车的功率恒定时，由公式P=Fv可知，随着运动速度的

减小．当加速度减小到零时，汽车的速度达最大值．此时的牵引力应是最小．

[答]C．

[说明]不少学生受生活直觉的影响，还常被笼罩在亚里士多德关于力与运动关系错误观点的阴影里，总是把力与运动（速度）直接联系起来，认为汽车开得快时牵引力大，开得慢时牵引力小．应该注意：

这里的基本点是功率恒定，力与运动速度必须受它的制约．

[例2]汽车以速率v1沿一斜坡向上匀速行驶，若保持发动机功率不变，沿此斜坡向下匀速行驶的速率为v2，则汽车以同样大小的功率在水平路面上行驶时的最大速率为（设三情况下汽车所受的阻力相同）　　　[　　　]

[分析]设汽车的质量为m，斜坡倾角为α，汽车沿斜坡匀速向上和匀速向下时的牵引力分别为F1、F2，阻力大小为f，根据力平衡条件和功率公式可知

联立两式，得所受阻力的大小

代入①式或②式，得发动机的功率

若汽车沿水平路面行驶，达最大车速时牵引力等于阻力，

即

[例3]质量m=5t的汽车从静止出发，以a=1m／s2的加速度沿水平直路作匀加速运动，汽车所受的阻力等于车重的0.06倍，求汽车在10s内的平均功率和10s末的瞬时功率．取g=10m／s2．

[分析]汽车在水平方向受到两个力：

牵引力F和阻力f．根据牛顿第二定律算出牵引力，结合运动学公式算出10s内的位移和10s末的速度即可求解．

[解答]设汽车的牵引力为F，阻力f=kmg=0.06mg．由牛顿第二定律

F-f=ma，

得　F=m（0.06g+a）=5×

103（0.06×

10+1）N

=8×

103N．

汽车在t=10s内的位移和10s末的速度分别为

vt=at=1×

10m／s=10m／s

所以汽车在10s内的平均功率和10s末的功率分别为

Pt=Fvt=8×

103×

10W=8×

104W．

[说明]题中汽车作匀加速运动，因此10s内的平均功率也可用

由此可见，在匀变速运动中，某段时间内的平均功率等于这段时间始末两时刻瞬时功率的平均．即

[讨论]

汽车、火车或轮船等交通工具，在恒定的功率下起动，都是作变加速运动．这个过程中牵引力F与运动速度v的制约关系如下：

所以，最大的运动速度就是作匀速运动时的速度．

课本中的例题要求轮船的最大航行速度，就是在F=f时匀速航行的速度．

[例题4]用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如

果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则[　　　]

A．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大

B．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大

C．两过程中拉力的功一样大

D．上述三种情况都有可能

[思路点拨]因重物在竖直方向上仅受两个力作用：

重力mg、拉力F．这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态．设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg=ma，

匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2=mg，匀速直线运动的位移S2=v·

t=at2．拉力F2所做的功W2=F2·

S2=mgat2．

[解题过程]比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：

一切取决于加速度a与重力加速度的关系．

因此选项A、B、C的结论均可能出现．故答案应选D．

[小结]由恒力功的定义式W=F·

S·

cosα可知：

恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态（加速、匀速、减速）无关．在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功．

[例题5]质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功．

[思路点拨]此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功．

[解题过程]由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为

设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为

所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为

[小结]解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图（如图8－2）．在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果．

[例题6]如图8－3所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功．

[思路点拨]从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力T，大小与外力F相等，但物体从A运动至B的过程中，拉力T的方向与水平面的夹角由α变为β，显然拉力T为变力．此时恒力功定义式W=F·

cosα就不适用了．如何化求变力功转而求恒力功就成为解题的关键．由于绳拉物体的变力T对物体所做的功与恒力F拉绳做的功相等，根据力对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功．

[解题过程]设物体在位置A时，滑轮左侧绳长为l1，当物体被绳拉至位置B时，绳长变为l2，因此物体由A到B，绳长的变化量

又因T=F，则绳的拉力T对物体做的功

[小结]如何由求变力功转化为求恒力功，即实现由变到不变的转化，本题采用了等效法，即将恒定拉力F作用点的位移与拉力F的乘积替代绳的拉力对物体做功．这种解题的思路和方法应予以高度重视．

[例题7]汽车发动机的功率为60kW，汽车的质量为4t，当它行驶在坡度为0.02的长直公路上时，如图8－4，所受阻力为车重的0.1倍（g＝10m/s2），求：

（1）汽车所能达到的最大速度vm=？

（2）若汽车从静止开始以0.6m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？

（3）当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少？

（4）在10s末汽车的即时功率为多大？

[思路点拨]由P=F·

v可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比．当汽车的牵引力与阻力（包括爬坡时克服下滑力）相等时，速度达最大．只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当F·

v=P额时，匀加速运动即告结束，可由W=F·

S求出这一阶段汽车做的功．当10s末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由Pt=F·

vt求发动机的即时功率．

[解题过程]

（1）汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即

f＝Kmg＋mgsinα=4000＋800=4800N．

又因为F＝f时，P=f·

vm，所以

（2）汽车从静止开始，以a=0.6m/s2，匀加速行驶，由F＝ma，有F′－f－mgsinα＝ma．所以F′＝ma＋Kmg＋mgsinα＝4×

0.6＋4800＝7.2×

103N．保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度v′m，有

由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移

（3）由W=F·

S可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为

W＝F·

S＝7.2×

57.82=4.16×

105J．

（4）当t＝10s＜13.9s，说明汽车在10s末时仍做匀加速行驶，则汽车的即时功率

Pt＝F·

vt＝F·

a·

t＝7.2×

0.6×

10＝43.2kW．

[小结]本题为功和功率概念应用于汽车运动过程中的综合题．注意汽车匀加速行驶的特征：

牵引力为恒力，发动机输出功率与即时功率逐渐呈线性增大．当输出功率达到额定功率可作为匀加速运动结束的判

以vm收尾匀速行驶．

[例8]用一根长l的细线，一端固定在顶板上，另一端拴一个质量为m的小球．现使细线偏离竖直方向α角后，从A处无初速地释放小球（图4-21）．试问：

（1）小球摆到最低点O时的速度？

（2）小球摆到左方最高点的高度（相对最低点）？

向左摆动过程中能达到的最大高度有何变化？

[分析]球在摆动过程中，受到两个力作用：

重力和线的拉力．由于小球在拉力方向上没有位移，拉力对小球不做功，只有重力做功，所以小球在运动过程中机械能守恒．

[解答]

（1）设位置A相对最低点O的高度为h，取过O点的水平面为零势能位置．由机械能守恒得

（2）由于摆到左方最高点B时的速度为零，小球在B点时只有势能．由机械能守恒

EA=EB

即mgh=mgh'

．

所以B点相对最低点的高度为

h'

=h．

（3）当钉有钉子P时，悬线摆至竖直位置碰钉后，将以P为中心继续左摆．由机械能守恒可知，小球摆至左方最高点B1时仍与AB等高，如图4-22所示．

[说明]第（3）小题中的钉子在竖直线上不同位置时，对小球的运动是有影响的．当钉子位于水平线AB上方时，小球碰钉后总能摆到跟AB同一高度处．若钉子继续下移，碰钉后的运动较为复杂，有兴趣的读者可自行研究．

1．机械能守恒定律的研究对象

机械能的转化和守恒是指系统而言．动能与重力势能的转化是指物体与地球组成的系统机械能守恒；

动能与弹性势能的转化是指物体与弹簧组成的系统机械能守恒．通常说某物体的机械能守恒是一种简化的不严格的说法．前面介绍的动能公式，则是对单个物体（质点）而言的．

2．机械能守恒定律的应用特点

应用机械能守恒定律时，只需着重于始末两状态的分析，不需考虑中间过程的细节变化，这是守恒定律的一大特点．如例2中没有从具体的抛出方式的不同规律出发，但根据机械能守恒却很容易求解．

[例题9]如图8－55所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴O，在盘的右边缘固定

的小球B，放开盘让其自由转动．问：

（1）当A转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

（2）A球转到最低点时的线速度是多少？

（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

[思路点拨]两小球重力势能之和的减少，可选取任意参考平面为零势能参考平面进行计算．由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，根据机械能守恒定律可列式算出A球的线速度和半径OA的最大偏角．

[解题过程]

（1）以通过转轴O的水平面为零势能面，开始时两球重力势能之和为

当A球转至最低点时两球重力势能之和为

Ep2＝EpA＋EpB＝－mgr＋0＝－mgr，

故两球重力势能之和减少了

（2）由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，机械能守恒，因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加，设A球转至最低点，A、B两球的线速度分别为vA，vB，则

因A、B两球固定在同一圆盘上，转动过程中的角速度ω相同．由

（3）设半径OA向左偏离竖直线的最大角