2017年四川省中考突破复习题型专项(十一)几何图形综合题.doc

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题型专项（十一）　几何图形综合题

题型1　与三角形、四边形有关的几何综合题

类型1　操作探究题

1．（2016·资阳）在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.

（1）如图1，若点F与点A重合，求证：

AC＝BC；

（2）若∠DAF＝∠DBA.

①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.

解：

（1）证明：

由旋转得，∠BAC＝∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD＝90°.

∴∠BAC＝∠BAD＝45°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°.

∴AC＝BC.

（2）①AF＝BE.理由：

由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.

∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.

∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.

∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.

∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝×180°＝60°.

由旋转得，AB＝AD.

∴△ABD是等边三角形．

∴AD＝BD.

在△AFD和△BED中，

∴△AFD≌△BED（AAS）．

∴AF＝BE.

②如图，由旋转得∠BAC＝∠BAD.

∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，

由旋转得AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.

∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，

∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.

∴∠BAD＝36°.

设BD＝a，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD＝∠GBD＝36°.

∴AG＝BG＝BD＝a.

∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.

∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.

∴＝.

∴＝.∴＝.

∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，

∴△AFD∽△BED.

∴＝.

∴AF＝·BE＝x.

2．（2016·南充营山县一诊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.

（1）求证：

DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2.

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

解：

（1）证明：

延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

∴OA＝OD，OA⊥OD.

在△AOG和△DOE中，

∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.

∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.

∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.

（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，

∵OA＝OD＝OG＝OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝＝.

∴∠AG′O＝30°.

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.

∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.

（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，

同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.

综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.

②AF′的最大值为＋2，此时α＝315°.

提示：

如图3，当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，

图3

∵正方形ABCD的边长为1，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝.

∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.

∴OF′＝2.

∴AF′＝AO＋OF′＝＋2.

∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.

3．（2016·福州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；

（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；

（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

解：

（1）由折叠可知△ANM≌△ADM，

∴∠MAN＝∠DAM.

∵AN平分∠MAB，

∴∠MAN＝∠NAB.

∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.

∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×＝.

（2）如图1，延长MN交AB延长线于点Q.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.

∴∠DMA＝∠MAQ.

由折叠可知△ANM≌△ADM，

∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.

∴∠MAQ＝∠AMQ.

∴MQ＝AQ.

设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.

在Rt△ANQ中，AQ2＝AN2＋NQ2，

∴（x＋1）2＝32＋x2.解得x＝4.

∴NQ＝4，AQ＝5.

∵AB＝4，AQ＝5，

∴SΔNAB＝SΔNAQ＝×AN·NQ＝.

（3）如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴＝.

∵AH≤AN＝3，AB＝4，

∴当点N，H重合（即AH＝AN）时，DF最大．（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大）

此时M，F重合，B，N，M三点共线，△ABH≌△BFC（如图3），

∴CF＝BH＝＝＝.

∴DF的最大值为4－.

图1

类型2　动态探究题

4．（2016·自贡）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边CD的长；

（2）如图2，在

（1）的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连接BP.动点M在线段AP上（点M与点P，A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？

若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.

∴∠APD＋∠DAP＝90°.

∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.

又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.

∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，

∴＝＝＝.

∴CP＝AD＝4.

设OP＝x，则CO＝8－x.

在Rt△PCO中，∠C＝90°，

由勾股定理得x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5.

∴AB＝AP＝2OP＝10.

∴CD＝10.

（2）过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.

∵AP＝AB，MQ∥AN，

∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.

∴MP＝MQ.

∵BN＝PM，∴BN＝QM.

∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝PQ.

∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.

在△MFQ和△NFB中，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF＝BF＝QB.

∴EF＝EQ＋QF＝PQ＋QB＝PB.

由

（1）中的结论可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，

∴PB＝＝4.

∴EF＝PB＝2.

∴在

（1）的条件下，当点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2.

5．（2016·乐山）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.

（1）当x为何值时，OP⊥AP?

（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由题意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.

∵OP⊥AP，

∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.

∴∠OPC＝∠PAB.

∴△OPC∽△PAB.

∴＝，即＝.

解得x1＝4，x2＝1（不合题意，舍去）．

∴当x＝4时，OP⊥AP.

（2）∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.

∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.

∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.

∴＝，即＝.

∴y＝x－（2

（3）存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF＝AB＝2.

∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，

∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝·5ED.

∴ED＝4，EF＝2.

∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.

∴＝，即＝.

解得y＝.

∴由

（2）y＝x－，得x－＝.

解得x1＝，x2＝（不合题意舍去）．

∴在点P的运动过程中，存在x＝，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积．

6．（2015·攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6.如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）当t＝5时，请直接写出点D，点P的坐标；

（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；

（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．

解：

（1）D（－4，3），P（－12，8）．

（2）当点P在边AB上时，BP＝6－t.

∴S＝BP·AD＝（6－t）·8＝－4t＋24.

当点P在边BC上时，BP＝t－6.

∴S＝BP·AB＝（t－6）·6＝3t－18.

∴S＝

（3）∵D（－t，t），当点P在边AB上时，P（－t－8，t）．

当＝时，＝，解得t＝6.

当＝时，＝，解得t＝20.

∵0≤t≤6，

∴t＝20时，点P不在边AB上，不合题意．

当点P在边BC上时，P（－14＋t，t＋6）．

当＝时，＝，解得t＝6.

若＝时，＝，解得t＝.

∵6≤t≤14，

∴t＝时，点P不在边BC上，不合题意．

∴当t＝6时，△PEO与△BCD相似．

类型3　类比探究题

7．（2016·眉山青神县一诊）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.

（1）求证：

PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

解：

（1）证明：

在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

在△ABP和△CBP中，

∴△ABP≌△CBP（SAS）．∴PA＝PC.

又∵PA＝PE，∴PC＝PE.

（2）由

（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.

∴∠DCP＝∠E.

∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），

∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，

即∠