2017年四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形.doc

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专项（十二）　二次函数与几何图形的综合题

类型1　探究图形面积的数量关系及最值问题

1．（2016·安徽）如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．

（1）求a，b的值；

（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6）．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．

解：

（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2＋bx.得

解得

（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，F.

S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，

S△ACD＝AD·CE＝×4×（x－2）＝2x－4，

S△BCD＝BD·CF＝×4×（－x2＋3x）＝－x2＋6x，

则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋（2x－4）＋（－x2＋6x）＝－x2＋8x.

∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋8x（2＜x＜6）．

∵S＝－（x－4）2＋16.

∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.

2．（2016·雅安中学一诊）如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A，B两点，并与直线y＝x－2交于B，C两点，其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点，连接AC.

（1）求抛物线解析式；

（2）求证：

△ABC为直角三角形；

（3）在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．

解：

（1）∵直线y＝x－2交x轴，y轴于B，C两点，

∴B（4，0），C（0，－2）．

∵y＝ax2－x＋c经过点B，C，

∴解得

∴y＝x2－x－2.

（2）令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.

∴OA＝1，OB＝4.∴AB＝5.

∴AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，AB2＝25.

∴AC2＋BC2＝AB2.

∴△ABC为直角三角形．

（3）连接CD，BD，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.

设直线BC的解析式为y＝kx＋b.

∵将B（4，0），C（0，－2）代入，得

解得

∴直线BC的解析式为y＝x－2.

设点D（a，a－2），则点P（a，a2－a－2）．

∵PD＝PE－DE＝－a2＋a＋2＋（a－2）＝－a2＋2a，

∴当a＝2时，PD有最大值，PD的最大值为2.

∵S四边形ACPB＝S△ACB＋S△CBP＝AB·OC＋OB·DP＝×5×2＋×4·DP＝5＋2PD.

∴当PD最大时，四边形ACPB的面积最大．

∴当点P的坐标为（2，－3）时，四边形ACPB的面积的最大值为5＋2×2＝9.

3．（2015·攀枝花）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？

若存在，求出点D坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）在

（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得

解得

∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.

（2）设D（t，－t2＋2t＋3），过点D作DH⊥x轴于点H，连接DC，DB.

令x＝0，则y＝3，∴C（0，3）．

S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC

＝（－t2＋2t＋3＋3）t＋（3－t）（－t2＋2t＋3）－×3×3

＝－t2＋t.

∵－＜0，

∴当t＝－＝时，即点D坐标为（，）时，S△BCD有最大值，且最大面积为.

（3）存在．

∵P（1，4），过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，

∵直线BC解析式为为y＝－x＋3，

∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.

由解得∴Q1（2，3）．

∵直线PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式y＝－x＋3，

∴M（1，2）．

设PM与x轴交于点E，∵PM＝EM＝2，

∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.

从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．

联立

解得

∴Q2（，－），Q3（，－）．

∴满足条件的Q点坐标为（2，3），（，－）或（，－）．

类型2　探究线段的数量关系及最值问题

4．（2016·成都青羊区二诊改编）已知抛物线y＝x2＋（－1）x－2（a＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

（1）若抛物线过点D（2，－2），求实数a的值；

（2）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE＋CE最小，求出点E的坐标．

解：

（1）∵抛物线过点D（2，－2），

∴×4＋（－1）×2－2＝－2，

解得a＝4.

（2）∵点A，B是抛物线与x轴的交点，

∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点．

∴连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AE＋CE最小的点．

∵a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.

令y＝0，则x2－x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4.

令x＝0，则y＝－2.

∴A（－2，0），B（4，0），C（0，－2），对称轴为直线x＝1.

∴直线BC解析式为y＝x－2.

∵当x＝1时，y＝－，

∴E（1，－）．

5．（2015·南充）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：

x＝1.

（1）求抛物线解析式；

（2）直线y＝kx＋2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1

（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值．

解：

（1）由题意，得－＝1，

∴b＝2.

∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0），

∴－x2＋bx＋c＝0的解为m－2和2m＋1.

∴（m－2）＋（2m＋1）＝b，（m－2）（2m＋1）＝－c.

∴m＝1，c＝3.

∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.

（2）联立得x2＋（k－2）x－1＝0.

∴x1＋x2＝－（k－2），x1x2＝－1，

∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（k－2）2＋4.

∴当k＝2时，（x1－x2）2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2.

∴解得x1＝－1，x2＝1，则y1＝0，y2＝4.

∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M（－1，0），N（1，4）．

（3）由

（1）得O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3）．

∵L＝OB＋BP＋PC＋CO，

又∵线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变，

∴要使L最小，只需BP＋CO最短．

如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形．∴C′（3，3）．

作点P关于x轴（或OB）的对称点P′（1，－4），连接C′P′与x轴交于点B′.

设C′P′解析式为y＝ax＋n.

∴

解得

∴y＝x－.

当y＝0时，x＝，∴B′（，0）．

又3－＝，故点B向左平移个单位，平移到B′.

同时，点O向左平移个单位，平移到O′（－，0），

即线段OB向左平移个单位时，周长L最短．

此时，线段BP，CO之和最短为P′C′＝＝，O′B′＝OB＝3，CP＝.

∴当线段OB向左平移个单位，即点O平移到O′（－，0），点B平移到B′（，0）时，周长L最短为＋＋3.

类型3　探究特殊三角形的存在性问题

6．如图，已知抛物线E1：

y＝x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.

（1）求m的值；

（2）求抛物线E2的函数解析式；

（3）在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵抛物线E1经过点A（1，m），∴m＝12＝1.

（2）∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数解析式为y＝ax2（a≠0），

又∵点B（2，2）在抛物线E2上，

∴2＝a×22.解得a＝.

∴抛物线E2的函数解析式为y＝x2.

（3）假设在抛物线E1上存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形．

①当点B为直角顶点时，过点B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于点Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2.

将x＝2代入y＝x2，得y＝4.

∴点Q1（2，4）；

②当点Q2为直角顶点时，则有Q2B′2＋Q2B2＝B′B2，过点Q2作Q2G⊥BB′于点G.

设点Q2的坐标为（t，t2）（t＞0），则有（t＋2）2＋（t2－2）2＋（2－t）2＋（t2－2）2＝42，整理得t4－3t2＝0.

∵t＞0，∴t2－3＝0，解得t1＝，t2＝－（舍去）．

∴点Q2（，3）．

综上所述，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）．

7．（2016·雅安中学二诊）如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其中x1，x2为方程x2－2x－8＝0的两个根．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q（x，0），△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；

（3）点M的坐标为（2，0），问：

在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？

若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

解：

（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝4，x2＝－2.

∴A（4，0），B（－2，0）．

设抛物线解析式为

y＝a（x－4）（x＋2）．

将C（0，4）代入，

解得a＝－.

∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.

（2）由Q（x，0），可得BQ＝x＋2，AQ＝4－x，

过点E作EH⊥AB于点H.

∴EH∥CO.∴＝.

又∵QE∥AC，∴＝.∴＝.

∴＝，即EH＝（x＋2）．

∵S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝（x＋2）·4－（x＋2）·（x＋2），

∴y关于x的函数关系式为y＝－x2＋x＋＝－（x－1）2＋3（－2＜x＜4）．

∴△CQE的面积的最大值为3.

（3）存在点F使得△OMF是等腰三角形．

设AC的解析式为y＝kx＋b.

∵直线AC过点A（4，0）和C（0，4），

∴解得

∴直线AC的解析式为y＝－x＋4.

∵点F在AC上，设F（x，－x＋4），

∴OF＝，

MF＝，OM＝2.

若△OMF是等腰三角形，则可能有三种情况：

①如图1，当OF＝FM时，F的横坐标应为1，∴F（1，3）；

②当OM＝OF＝2时，＝2，

化简得x2－4x＋6＝0.

∵Δ＝－8＜0∴这种情况不存在；

③如图2，当OM＝MF时，＝4，

化简得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4（舍去）．

∴F（2，2）．

综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F（1，3）或（2，2）．

8．（2016·凉山模拟）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB＝1.

（1）求经过点O，A，E三点的抛物线解析式；

（2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2