高中数学选修23 3Word文件下载.docx
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（2）某些平行四边形是菱形；
（3）存在x∈R，x2＋1<
答案
（1）先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：
“所有实数的绝对值都不是正数”；
同理可得
（2）（3）的否定：
（2）所有平行四边形都不是菱形；
（3）任意x∈R，x2＋1≥0.
梳理 写特称命题的否定的方法
（1）将存在量词改写为全称量词，
（2）将结论否定．
特称命题的否定是全称命题．
1．命题綈p的否定为p.（√）
2．存在x∈M，p（x）与任意x∈M，綈p（x）的真假性相反．（√）
3．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p（x）”同时否定．（×
）
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
（1）任何一个平行四边形的对边都平行；
（2）数列：
1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
（3）任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
（4）可以被5整除的整数，末位是0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解
（1）其否定：
存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
（2）其否定：
数列：
1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
（3）其否定：
存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
（4）其否定：
存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：
每一个四边形的四个顶点共圆；
（2）p：
所有自然数的平方都是正数；
（3）p：
任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
（4）p：
对任意实数x，x2＋1≥0.
解
（1）存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
（2）有些自然数的平方不是正数．
（3）存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
（4）存在实数x，使得x2＋1<
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
存在x∈R,2x＋1≥0；
（2）q：
存在x∈R，x2－x＋
＜0；
（3）r：
有些分数不是有理数．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解
（1）任意x∈R,2x＋1＜0，为假命题．
（2）任意x∈R，x2－x＋
≥0.
∵x2－x＋
＝
2≥0，是真命题．
（3）一切分数都是有理数，是真命题．
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．
（3）存在x，y∈Z，使得
x＋y＝3.
解
（1）命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
（2）命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
（3）命题的否定是“任意x，y∈Z，
x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，
x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型三 含量词的命题的应用
例3 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：
“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；
命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f（x）＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，
借助二次函数的图像易知，Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解 由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．
故a的取值范围为[－2,2]．
反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
（1）对于全称命题“任意x∈M，a＞f（x）（或a＜f（x））”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f（x）的最大值（或最小值），即a＞f（x）max（a＜f（x）min）．
（2）对于特称命题“存在x∈M，a＞f（x）（或a＜f（x））”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f（x）的最小值（或最大值），即a＞f（x）min（或a＜f（x）max）．
（3）若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3 已知函数f（x）＝x2－2x＋5.
（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>
0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
（2）若存在一个实数x，使不等式m－f（x）>
0成立，求实数m的取值范围．
解
（1）不等式m＋f（x）>
0可化为m>
－f（x），
即m>
－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.
要使m>
－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，m>
－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f（x）>
0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>
－4.
（2）不等式m－f（x）>
f（x），若存在一个实数x，使不等式m>
f（x）成立，只需m>
f（x）min.
又f（x）＝（x－1）2＋4，∴f（x）min＝4，∴m>
4.
∴所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．
1．命题“任意x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是（ ）
A．任意x∈R，|x|＋x2＜0
B．任意x∈R，|x|＋x2≤0
C．存在x∈R，|x|＋x2＜0
D．存在x∈R，|x|＋x2≥0
答案 C
2．存在m，n∈Z，使得m2＝n2＋2017的否定是（ ）
A．任意m，n∈Z，使得m2＝n2＋2017
B．存在m，n∈Z，使得m2≠n2＋2017
C．任意m，n∈Z，有m2≠n2＋2017
D．以上都不对
3．命题“任意x∈R，x＞sinx”的否定是________________．
答案 存在x∈R，x≤sinx
4．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是（－∞，a），则实数a的值是________．
题点 含一个量词的命题的否定
答案 1
解析 其否定为：
∀x∈R，使e|x－1|－m＞0，
且为真命题．m＜e|x－1|.
只需m＜（e|x－1|）min＝1.故a＝1.
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
任意x∈R，x2＋2x＋2＝0；
所有的正方形都是菱形；
至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
考点 全称（存在）量词的否定
题点 含全称（存在）量词的命题的否定
解
（1）存在x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．
因为任意x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1＞0恒成立．
（2）至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
因为所有的正方形都是菱形．
（3）任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：
第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；
第二步，将结论加以否定，如：
将“≥”否定为“<
”．
2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：
第一步，将存在量词改写成全称量词；
第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①存在实数x，使得x2＋2＝0；
②有些角的正弦值大于1；
③有些函数既是奇函数又是偶函数．
A．0B．1C．2D．3
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 x2＋2≥2，故①是假命题；
∀x∈R，sinx≤1，故②是假命题；
f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（ ）
A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”．故选C.
3．已知命题p：
存在a∈（－∞，0），a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是（ ）
A．存在a∈（0，＋∞），a2－2a－3≤0
B．存在a∈（－∞，0），a2－2a－3≤0
C．对任意a∈（0，＋∞），a2－2a－3≤0
D．对任意a∈（－∞，0），a2－2a－3≤0
答案 D
解析 易知命题p的否定为：
对任意a∈（－∞，0），a2－2a－3≤0，故选D.
4．已知p：
任意x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p为假命题，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜
B．0＜a≤
C．a≤
D．a≥
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
解析 显然当a＝0时，满足题意；
当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤
；
当a＜0时，满足题意．
所以a的取值范围是
.
5．下列命题中，假命题是（ ）
A．任意x∈R,2x－1>
0B．任意x∈N＋，（x－1）2>
C．存在x∈R，lgx<
1D．存在x∈R，tanx＝2
解析 对于任意x∈R，y＝2x>
0恒成立，而y＝2x－1的图像是将y＝2x的图像沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>
0恒成立，A为真命题；
当x＝1时，（x－1）2＝0，故B为假命题；
当0<
x<
10时，lgx<
1，故存在x∈R，lgx<
1，C为
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