最新高三总复习优化方案教案Word文件下载.docx

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设{an}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项

和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．

（1）证明a1＝d；

（2）求公差d的值和数列{an}的通项公式

（1）等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d及前n项和公式Sn＝

＝na1＋

d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

考点3　等差数列性质及应用

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a6－1）3＋2013（a6－1）＝1，（a2008－1）3＋2013（a2008－1）＝－1，则下列结论中正确的是（　　）

A．S2013＝2013，a2008＜a6B．S2013＝2013，a2008＞a6

C．S2013＝－2013，a2008≤a6D．S2013＝－2013，a2008≥a6

考点4　等差数列中的最值问题

在等差数列{an}中,已知a1＝20,前n项和为Sn,且S10＝S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

【规律小结】　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：

①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．

1．设元与解题的技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；

若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

2．S奇，S偶在等差数列中的整体应用

设S奇，S偶分别是等差数列{an}中所有奇数项的和与所有偶数项的和，则

（1）当数列项数为偶数2n时，有S偶－S奇＝nd；

（2）当数列项数为奇数2n＋1时，有S偶＝

＝nan＋1，

S奇＝

＝（n＋1）an＋1，S奇－S偶＝an＋1，

＝

3．方程思想和基本量思想：

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解

三习题选讲

第3课时　等比数列及其前n项和

1．等比数列的相关概念及公式

2．等比数列{an}与指数函数

等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可改写为an＝

·

qn.当q＞0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝

qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图像是函数y＝

qx的图像上的一群孤立的点．

3．等比数列的有关性质

（1）通项公式的推广：

an＝am·

_______（n，m∈N*）．

（2）在等比数列中，若m＋n＝p＋q，则am·

an＝_______（m，n，p，q∈N*）．特别地，若m＋n＝2p，则a

＝am·

an.

（3）间隔相同的项，如a1，a3，a5，…仍为等比数列，且公比为_____.

（4）等比数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为_____.

（5）单调性．

若

或

⇔{an}________．

q＝1⇔{an}为常数列，q＜0⇔{an}为摆动数列．

考点1　等比数列的判断与证明

（2011·

高考天津卷节选）已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝（－2）n＋1，bn＝

，n∈N*，且a1＝2.

（1）求a2，a3的值；

（2）设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．

【名师点评】　等比数列的判定方法有：

1）定义法：

＝q（q为非零常数）或

＝q（q为非零常数且n≥2），则{an}是等比数列．

（2）中项公式法：

若数列{an}中，an≠0且a

＝an·

an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．

（3）通项公式法：

若数列通项公式可写成an＝c·

qn－1（c，q均为不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列．

（4）前n项和公式法：

若数列{an}的前n项和Sn＝k·

qn－k（k为常数且k≠0，q≠0,1），则{an}是等比数列．

考点2　等比数列的基本运算

（2012·

高考陕西卷）已知等比数列{an}的公比q＝－

（1）若a3＝

，求数列{an}的前n项和；

（2）证明：

对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．

考点3　等比数列的性质及应用

（1）（2012·

高考安徽卷）公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝（　　）

A．4　　B．5C．6D．7

（2）（2012·

高考广东卷）若等比数列{an}满足a2a4＝

，则a1a

a5＝________.

考点4　等差、等比数列的综合应用

（2012·

高考湖北卷）已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.

（1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

1．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．

2．方程观点以及基本量（首项和公比a1，q）思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：

在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．

三、习题选讲

第4课时　数列求和

1．公式法

（1）直接用等差、等比数列的求和公式．

（2）掌握一些常见的数列的前n项和．

11＋2＋3＋…＋n＝_____________；

②1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝_______；

③2＋4＋6＋…＋2n＝___________；

④12＋22＋32＋…＋n2＝___________________；

⑤13＋23＋33＋…＋n3＝_____________＝___________.

2．倒序相加法

如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如______数列的前n项和公式即是用此法推导的．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如_______数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．分组转化法

把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．

考点1　分组转化法求和

例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝（100＋99）＋（98＋97）＋…＋（2＋1）＝5050.

求和：

（1）Sn＝

＋

＋…＋

；

（2）Sn＝

2＋

2＋…＋

2.

考点2　错位相减法求和

（2013·

烟台调研）将函数f（x）＝sin

x·

sin

（x＋2π）·

（x＋3π）在区间（0，＋∞）内的全部极值点的横坐标按从小到大的顺序排成数列{an}（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

（1）用错位相减法求和时，应注意：

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

（2）利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．

考点3　裂项相消法求和

（2013·

西南大学附中月考）已知函数f（x）＝2x＋1，g（x）＝x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：

a1＝1，an＝f（bn）＝g（bn＋1），n∈N*.

（1）求证：

数列{bn＋1}为等比数列；

（2）令Cn＝

，Tn是数列{Cn}的前n项和，求使Tn＞

成立的最小的n值．

第5课时　数列的综合应用

1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：

2．数列应用题常见模型

（1）等差模型：

如果_________________的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差．

（2）等比模型：

如果后一个量与前一个量的______是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

（3）递推数列模型：

如果题目中给出的是前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．

（4）分期：

设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝

a.

考点1　等差数列与等比数列的综合应用

高考陕西卷）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

（1）求数列{an}的公比；

对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

考点2　等差数列与等比数列的实际应用

从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2013年投入800万元，以后每年投入将比上年减少

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

（1）设n年内（2013年为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

（参考数据：

lg2＝0.3010）

考点3　数列与函数、解析几何、不等式等知识的综合应用

已知数列{an}，{bn}满足a1＝

，an＋bn＝1，bn＋1＝

（1）求b1，b2，b3，b4；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）设Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求实数a为何值时，4aSn＜bn.

1．深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加