高中数学新设计同步 必修3 人教B版 第三章 概 率314Word下载.docx

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∵G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生，∴G与F既是互斥事件又是对立事件．

梳理　

1．互斥事件：

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）．

2．对立事件：

不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作

.由于A与

是互斥事件，所以P（Ω）＝P（A∪

）＝P（A）＋P（

），又由Ω是必然事件，得到P（Ω）＝1.所以P（A）＋P（

）＝1，即P（

）＝1－P（A）．

知识点三　概率的基本性质

思考　概率的取值范围是什么？

为什么？

答案　概率的取值范围是0～1之间，即0≤P（A）≤1；

由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．

梳理　概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围为[0,1]．

（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

（3）互斥事件的概率加法公式

①假定A，B是互斥事件，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

②一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥（彼此互斥），那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生（是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．（　×

　）

2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．（　√　）

3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.（　√　）

类型一　事件关系的判断

例1　从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张）中，任取一张．

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

解　

（1）是互斥事件，不是对立事件．

理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

（2）既是互斥事件，又是对立事件．

从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

反思与感悟　

（1）不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．

（2）事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆．

（3）事件A也包含于事件A，即A⊆A.

（4）两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生．

跟踪训练1　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（　　）

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有两个红球

答案　D

解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；

B中两事件是对立事件；

C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；

D中两事件是互斥而不对立事件．

类型二　互斥事件的概率加法公式

例2　在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．

解　分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是

P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69.

小明考试及格的概率为P（B∪C∪D∪E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.

反思与感悟　在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．

跟踪训练2　假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率．

解　因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．

令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，

则P（A）＝0.025，P（B）＝P（C）＝0.1.

令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，又因为A，B，C是两两互斥事件，故所求概率为P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.

类型三　用互斥、对立事件求概率

例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率是

，乙获胜的概率为

，求：

（1）甲获胜的概率；

（2）甲不输的概率．

解　

（1）“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－

－

＝

.

（2）方法一　“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P（甲不输）＝

＋

方法二　“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P（甲不输）＝1－

，故甲不输的概率为

反思与感悟　

（1）只有当A，B互斥时，公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）才成立；

只有当A，B互为对立事件时，公式P（A）＝1－P（B）才成立．

（2）复杂的互斥事件概率的求法有两种：

一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；

二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P（

）求解．

跟踪训练3　从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）

A．0.20B．0.39C．0.35D．0.90

答案　C

解析　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P（A）＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.

1．从1,2，…，9中任取两数，其中：

①恰有一个偶数和恰有一个奇数；

②至少有一个奇数和两个数都是奇数；

③至少有一个奇数和两个数都是偶数；

④至少有一个奇数和至少有一个偶数．

在上述各对事件中，是对立事件的是（　　）

A．①B．②④C．③D．③④

解析　从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．

2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（　　）

A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7

解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.

3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为

，乙夺得冠军的概率为

，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

答案　

解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为

4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．

答案　0.10

解析　设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.

因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为

P（D）＝1－P（A∪B∪C）＝1－0.90＝0.10.

5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.

求：

（1）他乘火车或飞机去的概率；

（2）他不乘轮船去的概率．

解　设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥．

（1）P（A∪D）＝P（A）＋P（D）＝0.3＋0.4＝0.7.

（2）P＝1－P（B）＝1－0.2＝0.8.

1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；

而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；

反之两个事件对立，它们一定互斥．

2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

3．求复杂事件的概率通常有两种方法：

（1）将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；

（2）先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．

一、选择题

1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（　　）

A．全部击中B．至少击中1发

C．至少击中2发D．以上均不正确

答案　B

解析　A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发，2发或3发，故选B.

2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是