构造法在中学数学中的应用研究设计Word文档下载推荐.docx

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关键词：

构造法，观察，分析，创造性，解题

Applicationoftheconstructionmethodinmiddleschoolmathematics

Abstract

Constructionisanimportantclassifiedmethod,studentsachievetheobjectiveofsolvingproblemsthroughconstructinganewmathematicalmodelwhichisobtainedbystudentsthroughobserving,analyzingandgraspingthecharacteristics,associatingthemathematicalmodelandtransformingpropositions.Itplaysanimportantrolesinsolvingmathematicalproblemsofmiddleschool,mainlyinvolvesthefunction,pattern,equation,sequenceandsoon.Constructionmethodisalsoamethodofcreative,belongstounconventionalthinking,itcanimprovethestudents’observation,analysis,problemsolvingskills.

Keywords:

Constructionmethod;

Analysis;

Creativity;

Problemsolving.

目录

1.引言

1.1论文的研究背景...................................................................................................1

1.2本论文研究内容...................................................................................................2

2.1如何利用构造法解方程类问题........................................................................3

2.2巧妙构造图像性质解决数学问题5

2.3用构造法求解数列问题7

2.4用构造三角函数法巧解数学问题.....................................................................9

2.5用构造法巧解生活中常见问题.........................................................................10

3.1调查的设计、方法和过程8

3.2调查结果及分析8

3.2.1实验结果8

结语…................................................................................................................................16

参考文献..........................................................................................................................17

致谢....................................................................................................................................19

1.引言

1.1论文的研究背景

构造法是数学解题中一种十分重要的基本方法，是根据题目中所给的条件或者结论，通过观察、分析、联想与综合，利用各种知识间的内在联系，有目的的构造一个特定的数学模型，从而将一个命题转化成一个与之等价的命题。

构造法同样是一种创新的思维方法，解题过程中要打破常规思维，另辟蹊径，巧妙的解决。

构造法历史发展过程：

从数学产生的那天起，数学中的构造性方法就伴随着产生了。

但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直观派有关。

直观派出于对数学的“可行性”的考虑，提出一个著名的口号：

“存在必须是被构造。

”这就是构造主义。

构造法的发展历史主要包括以下几个过程：

（一）直观数学阶段，先驱者是19世纪末德国的克隆尼克。

他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。

”曾计划把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。

后续代表人物包括彭加勒，其主张所有的定义和证明都必须是构造性的。

以及近代构造法的系统创立者布劳威，其主张存在必须被构造的观点。

（二）算法数学阶段，由于直觉数学难以为人读懂，同时直觉数学对排斥非构造数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性，所以产生了另外几种构造性倾向，主要是算法数学。

算法数学是马尔科夫及其合作者创立的，并将此定义为：

一种把数学的一切概念归约为一个基本概念——算法的构造性方法。

但是，因为这种构造法外行人读起来十分困难，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。

（三）现代构造数学阶段，由比肖泊提出，他避免使用直觉派的超数学原理，摆脱了算法数学对递归函数——理论方法的不必要依赖，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。

同时比肖泊采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号，所以为一般数学家容易看懂。

1.2论文研究内容

构造法有以下两种基本特征：

（一）：

对所讨论的对象能进行较为直观的描述；

（二）：

实现的具体性，就是不只是判明某种解的存在性，而且要实现具体求解

2.1如何利用构造性方法解决方程类问题

例1：

已知，求证：

分析：

学生在做这种题目时，会想到通过分母进行通分得到：

，做到这思维往往就会停滞，不知如何开展，其实如果将不等式右边的代数式移到左边得，做到这，通过观察，分析可以联想到上述不等式与一元二次方程根的判别式：

是相似的，通过逆向构造一元二次方程可得

，进而通过判别式方法来解决。

详细过程如下：

已知，求证：

证明：

因为，所以将分母通分可得：

将不等式的右边移到不等式左边可得：

。

联想到二次函数进而构造出一元二次方程：

，通过观察分析所得：

是方程的一个根。

所以方程根的判别式：

；

即：

例2：

解方程：

分析：

在做这类习题时，如果采用常规方法即：

平方差公式法解题或者平方法，在解题过程中会觉得难以奏效甚至会越来越烦，在解决这类问题时，需要学生发挥好创造性思维，但这类问题随着时间的推移，逐渐形成了解题的固定方式，但仍需要学生在记忆的基础上重在对解题方式的理解。

解题通用过程大致如下：

解方程：

解：

根据方程可以构造出以下辅助恒等式：

（1）

将原方程标记为等式

（2），由

（1）

（2）可得：

（3）

（2）+（3）得：

解得：

总结：

在做上述例题时，并不对所有类似的题都是有效的，需要满足以下条件

（一）：

根号内的未知数最高次项必须是相同的；

最高次项前的系数必须是相同的；

只有满足以上两个条件才能用上诉的方法解答。

在解方程类习题时，若果采用向思维难以解决时，或者越来越烦，可以考虑逆向思维，如：

构造相思结构的方程等方式，将问题转换成一个自己熟悉的问题，从而巧妙简捷的解决问题。

2.2巧妙构造图像性质解决数学问题

例3：

求函数的值域

解析：

一般在做这种类型题目时，往往会采用分类讨论的思想，但是考虑的因素会较多，不便于书写。

本题中可以看成坐标轴上的一点到点-2的距离与到点3处的距离之和，存在下面三种情况：

1.如图1.当点在-2和点3中间时，不管点是如何的移动，其距离之和总是-2到3之间的距离，即为5

（图1）

2.如图2.当点处在点3的右侧时，随着点的不停右移，点到两点间的距离之和将越来越大且大于5

（图2）

3.如图3.当点处在-2的左侧时，随着点不停的左移，点到两点间的距离之和将越来越大，且大于5。

（图3）

综上所述：

我们可以得到，函数的值域是。

（解题过程略）

例4：

设求证：

直观上看相对复杂，按照平方法等常规方法做本题对学生来说是无从下手的，但是对本题进行观察分析，我们会发现每一个根号下的未知数都是以平方的形式出现，易于联想到勾股定理，构造出对应的三角形，如下：

设,于是：

，，，

因为

固所给结论成立。

上述问题的变式很多，作者曾做到过很多类似的问题，如某市中考模拟卷中有如下一个问题：

变式1：

在中，三边的长为，求这个三角形的积？

两个公式即可解决，但是计算起来相对复杂，况且是初中数学问题。

三角形是一个一般三角形，三边无规律性，所以解决这类问题，可以通过增补的方法使之呈现规则的形式。

增补方式如图5所示，

图5

2.3用构造法求解数列问题

例5：

已知数列满足，求数列通项

题目中只给出了，的关系，没有其他条件，解题的难点就在于如何转化关系式。

表面上看既不符合等差关系也不符合等比关系，但是如果将关系式构造成关系式。

就能直观的看出通项是等比数列，只需求出即可。

完整过程如下：

解:

构造如下关系式：

可得：

即：

结论：

当题目中出现如关系式

，

。

上述数列的函数表达式是

，通过构造等比数列形式能够容易解出来。

但是遇到

形式时，又该如何做呢？

如：

例6：

已知数列满足

求。

这里与上一题明显的区别是后面的常数转换成了关于的一次函数。

用上述的构造方法做是行不通的。

如何使这种形式向这方面来转换，我们发现与的系数为2倍关系，能否将上述转换成形式。

求

现令：

可得：

同上所得：

当诸如遇到以上数列形式时，即：

类比，通过下述方法进行构造：

，再令，从而实现形式的转换。

构造法在数列解题中的应用非常广泛，不论在求通项方面还是在求和方面都有涉及。

构造法在解题过程中充当着中介的作用，使一些看似复杂，不符合常规方式的数列经过中介作用变成简单的等差或者等比数列。

还有许许多多的构造方法在此就不在一一论述，如：

构造图