六年奥数综合练习题十二答案比和比例关系Word文档格式.docx

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因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.

　　三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积

　　=（10-7）∶（7×

2）=3∶14.

AB∶CD=3∶14.

　　两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.

　　例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.

大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，

　　中杯与小杯容量之比是4∶3，

　　大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.

　　∶

　　=（10×

2+4×

3+3×

4）∶（10×

5+4×

4+3×

3）

　　=44∶75.

两者容量之比是44∶75.

　　把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.

　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，

　　3∶5=3×

7∶5×

7=21∶35，

　　7∶4=7×

5∶4×

5=35∶20，

　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

　　花了多少钱？

根据比例与乘法的关系，

　　连比后是

　　甲∶乙∶丙=2×

16∶3×

2

　　=32∶48∶63.

甲、乙、丙三人共花了429元.

　　例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙

　　，而它们留在墙外的部分一样长.问：

甲、乙、丙的长度之比是多少？

设甲的长度是6份.

　　∶x=5∶4.

　　乙与丙的长度之比是

　　而甲与乙的长度之比是6∶5=30∶25.

　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26.

甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.

　　于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.

　　例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？

解一：

设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是

这些糖果每千克平均价是27.5元.

　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

　　事实上，有稍简捷的解题思路.

　　解二：

先求出这三种糖果所买数量之比.

　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.

　　平均数是（15+11+10）÷

3=12.

　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是

　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.

　　例7一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此

　　例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？

所需时间是多少？

三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.

　　三人工作效率之比是

　　他们分别需要完成的工作量是

　　所需时间是

　　700×

3=2100分钟）=35小时.

甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.

　　这是三个数量按比例分配的典型例题.

　　例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：

　　甲：

12∶13，乙：

5∶3，丙：

2∶1，

　　那么丙有多少名男会员？

甲组的人数是100÷

2=50（人）.

　　乙、丙两组男会员人数是56-24=32（人）.

丙组有12名男会员.

　　上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔

　　例10一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？

　　解一：

通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.

　　上坡、平路、下坡的速度之比是

　　走完全程所用时间

小龙走完全程用了10小时25分.

　　上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.

全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

　　设小龙走完全程用x小时.可列出比例式

二、比的变化

　　已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？

这就是这一节的内容.

　　例11甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？

甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？

这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.

　　5∶4=（5×

4）∶（4×

4）=20∶16.

　　5∶7=（5×

3）∶（7×

3）=15∶21.

　　甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来

　　甲得22.5÷

5×

20=90（分），

　　乙得22.5÷

16=72（分）.

原来甲得90分，乙得72分.

　　我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.

设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.

　　（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7

　　即5（4x+22.5）=7（5x-22.5）

　　15x=12×

22.5

　　x=18.

　　甲原先得分18×

5=90（分），乙得18×

4=72（分）.

其他球的数量没有改变.

　　增加8个红球后，红球与其他球数量之比是

　　5∶（14-5）=5∶9.

　　在没有球增加时，红球与其他球数量之比是

　　1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.

　　因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.

　　现在总球数是

现在共有球224个.

　　本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：

　　（x+8）∶2x=5∶9.

　　例13张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？

我们采用“假设”方法求解.

　　如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有

　　240∶x=8∶5，x=150（元）.

　　实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷

（5-3）=60.（元）.因此可求出

张家收入720元，李家收入450元.

设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.

　　我们画出一个示意图：

　　张家开支的3倍是（8份-240）×

3.

　　李家开支的8倍是（5份-270）×

8.

　　从图上可以看出

　　5×

8-8×

3=16份，相当于

　　270×

8-240×

3=1440（元）.

　　因此每份是1440÷

16=90（元）.

　　张家收入是90×

8=720（元），李家收入是90×

5=450（元）.

　　本题也可以列出比例式：

　　（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.

　　然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.

　　例14A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.

减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.

　　8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

　　A数是17×

8=136，B数是17×

5=85.

A，B两数分别是136与85.

　　本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.

　　例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？

充分利用已知数据的特殊性.

　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，

　　新的1份=原来1份+1

　　原来4份，新的5份，5-4=1，因此

　　新的1份有15-1×

4=11（张）.

　　小明原有图画纸11×

5-15=40（张），

　　小强原有图画纸11×

2+8=30（张）.

原来小明有40张，小强有30张图画纸.

我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）

　　4∶3=20∶15

　　5∶2=20∶8.

　　但现在是20∶8，因此这个比的每一份是

　　当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.

　　解三：

设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.

　　把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

　　从图上可以看出，3×

5-4×

2=7（份）相当于图画纸15×

2+8×

5=70（张）.

　　因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.

　　例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以