数学建模：住房贷款问题模型.docx

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数学建模论文住房贷款问题模型

一、摘要 1

二、问题重述 2

三、问题分析 2

四、问题的假设 2

五、符号的说明 3

六、问题的分析、模型的建立与求解 6

七、模型的应用及进一步分析 8

八、模型的评价 11

九、参考文献 11

住房贷款问题模型

摘要

这是一个关于银行住房贷款利率调整问题的数学模型。

本文根据已知利率

，针对每月还款额和期限满后的最后一月付款后本利和为零，推算出所求公式

。

对于问题一，根据银行通用算法，容易计算出1年期的一次性支付还款总额和利息负担总和分别10612元和612元。

再根据推算公式可计算出5年期和20年期限下的月均还款额分别为196.4118元、80.9266元；还款总额分别为11784.7075元、19422.3830元；利息负担总和分别为1784.7075元、9422.3830元。

对于问题二，根据新利率和公式计算出5年期、20年期的月均还款额分别为

190.1359元、69.2414元；与原规定相比，还款负担分别降低了6.2759元、11.685

2元。

还款总额分别为11408.1526元、16617.9245；分别降低了376.5549元、280

4.4585元。

利息负担总和分别为1408.1526元、6617.9245元；分别降低了376.554

9元、2804.4585元。

此模型给出的公式和程序能适合任意年限和年利率情况下的相关计算，适用范围较广。

此外，我们新定义了一个“比率”来刻画还款负担的降低程度并由此得出以下结论：

一、新政策与原规定相比，还款额都有所下降，降低了居民购房的还款负担。

二、延长贷款期限尽管看似利息负担加重，但实际上能减少每月的还款金额；这对于偿还能力较弱的居民应该是首选。

三、本模型分析了好几种还款模式，供购房贷款者参考。

关键词：

住房贷款；利率调整；还款负担；贷款年限

一、问题的提出

住房问题是目前全国上下大家都关注的热点。

住房问题引起了国务院党中央的注意，为了满足广大的人民能住得上房，能减轻人们的压力，由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。

其中指明贷款额最高为拟购买住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年。

借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。

个人住房贷款利率已给出，同时给出了不同贷款期限下的月均还款额

、还款总额和利息负担总和。

近年来国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。

各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年。

每笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。

个人住房款年利率最高水平降为5.88%。

并根据贷款期限划分为两个档次：

5年以下（含5年）为年利率5.31%

，5年以上为年利率5.88%。

10

小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元

，25年还清.

房产商介绍的一家金融机构提出：

贷款10万元，每半月还款440.33元,

22年还清,不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元..

小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.

现在需要做的内容有：

1、根据已知利率，来求不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和的公式；

2、根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与以前同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。

二、问题的假设

1、假设借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。

2、假设在借款期内利率都是不变的，都依照价款时的利率来计算。

三、符号的说明

符号

符号意义

AB

Ckyearn

R

rTotalRsum

贷款的金额月均还款额

第k个月末还款后的本利金额，k=1,2,Ln

还款年数期限还款月数期限年利率

月利率还款总额

利息负担总和

1、问题的分析

四、问题的分析、模型的建立与求解

银行贷款是需要付息的，但是不同的付款方式将关系到当事人的利益。

作

为住房贷款问题，需要的是解决住房为主要目的，让人们能住上房是根本目的

，故月均贷款是很符合当事人的实际能力。

根据所给的表格数据，可以看到随着贷款期的加长，其利率是逐渐递增的

，也就是说利息负担总和必定会随着贷款年限而增多。

但月均还款必定会减少

，减轻偿还压力是很多人追求的。

而在新规定下，为了更大的支持城镇居民购房，国务院批准的政策延长个

人住房贷款期限并降低利率了，而且只存在两种利率。

即即使贷款年限的增加而利率也不会再随之变化了，可以有效的提高居民的购买能力。

问题的求解，可以针对每月还款额是定值着手解决，并考虑到期限满后的最后一月付款后本利和为零，可以得出要求的公式。

2、模型的建立

计算第一月还款后的本利金额：

计算第二月还款后的本利金额：



C1=A（1+r）-B

2 1

C=C（1+r）-B=A（1+r）2-B（1+r）-B

计算第三月还款后的本利金额：

3 2

C=C（1+r）-B=A（1+r）3-B（1+r）2-B（1+r）-B

上述方法可以推广到k方的情形：

k k-1

C=C （1+r）-B=A（1+r）k-B（1+r）k-1-L-B（1+r）-B

=A（1+r）k-Béë（1+r）k-1+L+（1+r）+1ùû

=A（1+r）k

（1+r）k-1

-

B

r

当最后一个月时，显然还款后，末还款后的本利金额必为0，即有当k=n时

Cn=0，则：

上式解得：

A（1+r）n

（1+r）n-1

=

B

r

r（1+r）n

B=（1+r）n-1A

得到月均还款额B值后，还款总额Total和利息负担总和Rsum的值显然为：

Total=nB

Rsum=Total-A=nB-A

3、问题的求解

I问题一

①等额还款模型的求解

（1）贷款期在1年以上：

先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的.

客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.

因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，

即有关系式：

b=12a

设月均还款总额是x（元）

ai（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额

bi（i=1…n金额：

a1=A（1+a）

第1期还款后欠银行的金额：

b1=a1-x=A（1+a）-x

……

第i期还款前欠银行的金额）是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额.根据上面的分析，有

第1期还款前欠银行的：

ai=bi-1

（1+a）=（A（1+a）i-1-x（1+a）i-2-L-x）（1+a）

=A（1+a）i-x（1+a）i-1-x（1+a）i-2-L-x（1+a）

bi=ai-x

第i期还款后欠银行的金额：

……

第n期还款前欠银行的金额：

=A（1+a）i-x（1+a）i-1-L-x（1+a）-x

n n-1

a=b （1+a）=（A（1+a）n-1-x（1+a）n-2-x（1+a）n-3-L-x）（1+a）

=A（1+a）n-x（1+a）n-1-x（1+a）n-2-L-x（1+a）

第n期还款后欠银行的金额：

n n

b=a-x=A（1+a）n-x（1＋a）n-1-L-x（1+a）-x

因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清.也就是说：

bn=0，

即：

A（1+a）n-x（1＋a）n-1-L-x（1+a）-x=0

解方程得：

这就是月均还款总额的公式.

Aa（1+a）n

x=（1+a）n-1

因此，客户总的还款总额就等于：

C=nx=

利息负担总和等于：

D=C-A=



Ana（1+a）n

（1+a）n-1

-

Ana（1+a）n

（1+a）n-1 A

上面解答得出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和的公式。

下面来验证问题一的结果。

①当贷款期为1年，年利率为6.12%时，要求是一次还本利息，则不利用上述的公式，按照下列银行通用算法的公式计算：

ìTotal=A（1+R）gyear

î

íRsum=Total-A

由于A=10000,R=6.12%,year=1，算得

Total=10612,Rsum=612

②当year=5,R=6.66%时，按照模型的公式及用MATLAB编制的程序【见附件程序】计算[6]得出：

Total=11784.7075,Rsum=1784.7075,B=196.4118

③当year=20,R=7.56%时，按照模型的公式及程序计算得出：

Total=19422.3830,Rsum=9422.3830,B=80.9266

综上所述，模型得出的公式能计算出题给的数据。

②比较模型的求解

1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房.

个人住房贷款年利率最高水平降为5.

58%，并根据贷款期限划分为两个档次：

5年以下（含5年）为年利率5.

31%，5年以上为年利率5.58%

根据上面求出的月均还款总额，还款总额，利息负担总和的公式，我们可以求出根据新规定1年期，5年期，20年期的月均还款总额，还款总额，利息负担总和.（如下表）

借款金额为一万元（单位：

元）

贷款期限（年）

年利率（%）

还款总额

利息负担总和

月均还款总额

1

5.31

10513.00

513.00

一次还本付息

5

5.31

11408.40

1408.40

190.14

20

5.58

16617.60

6617.60

69.24

与题目中附表2中的同期贷款的付息情况比较，住房贷款的负担都有所降低，具体如下表：

（借款金额为一万元（单位：

元））

贷款期限（年）

年利率（%）

还款总额

利息负担总和

月均还款总额

5

6.66

11784.60

1784.60

196.41

5

5.31

11408.40

1408.40

190.14

降低

1.35

376.20

376.20

6.27

20

7.56

19423.20

9423.20

80.93

20

5.58

16617.60

6617.60

69.24

降低

1.98

2805.60

2805.60

11.69

③

递减还款模型的求解

银行除了向客户介绍上面的