新课标华东师大版八年级下册数学 第2课时 菱形的判定定理教学案文档格式.docx

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　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°

，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：

四边形ABCD是菱形．

证明：

∵∠B＝60°

，AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°

，

∴∠FAC＝∠ACE＝120°

.

∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，

∴∠DAC＝

∠FAC＝60°

，∠ACD＝

∠ACE＝60°

∴∠DAC＝∠ACB，∠ACD＝∠BAC，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．

　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为点M，AN⊥DC，垂足为点N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求证：

∵AD∥BC，

∴∠BAD＋∠B＝180°

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BCD＋∠B＝180°

∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．

∴∠B＝∠D.

∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，

∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.

∴平行四边形ABCD是菱形．

【点悟】判定菱形的一般方法有：

（1）四条边相等；

（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等．

类型之二　利用“四边相等”判定菱形

　如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）连结BE、DF，问四边形BEDF是什么四边形，请说明理由.

答图

解：

（1）如答图所示，EF为所求直线；

（2）四边形BEDF是菱形．

理由：

∵EF垂直平分BD，

∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.

∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，

∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF.

又∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，

∴四边形BEDF是菱形．

【点悟】如果已知图形是四边形，只要找四条边相等，则这个四边形是菱形．

1．四边相等的四边形一定是（　B　）

A．矩形B．菱形

C．平行四边形D．无法判定

2．如图，若要使

ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（　C　）

A．AB＝CDB．AD＝BC

C．AB＝BCD．AC＝BD

第2题图

第3题图

3．如图，在平行四边形ABCD中，

∵∠1＝∠2，∴BC＝DC，

∴平行四边形ABCD是菱形（__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__）．（请在括号内填上理由）

1．下列命题中，正确的是（　D　）

A．有一个角是60°

的平行四边形是菱形

B．有一组邻边相等的四边形是菱形

C．有两边相等的平行四边形是菱形

D．四条边相等的四边形是菱形

2．[2018·

嘉兴]用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（　C　）

A）

B）

C）

D）

3．小明和小亮在做一道习题：

若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；

小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是（　B　）

A．小明、小亮都正确

B．小明正确，小亮错误

C．小明错误，小亮正确

D．小明、小亮都错误

4．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：

①AC⊥BD；

②AD∥BC；

③四边形ABCD是菱形；

④△ABD≌△CDB.其中正确的是__①②③④__（填序号）．

5．[2017春·

西华县期末]如图，在△ABC中，AD是角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，试说明四边形AEDF是菱形．

如图，∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，

∴∠CAD＝∠ADF，∴AF＝DF，

∴四边形AEDF是菱形．

6．[2017·

宁夏]在△ABC中，M是AC边上的一点，连结BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：

四边形ABMD是菱形．

　答图

如答图，由折叠得AB＝AD，BM＝DM，∠1＝∠2，

∵DM∥AB，∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，∴AD＝DM，

∴AB＝AD＝BM＝DM，

∴四边形ABMD是菱形．

7．[2018·

岱岳区期中]如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°

，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．

（1）证明：

四边形AECF为菱形；

（2）连结EF交AC于点O，若BC＝16，求线段OF的长．

∵∠ACB＝90°

，点E是AB边的中点，

∴CE＝

AB＝EA.

∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，

∴AE＝AF，CE＝CF，

∴CE＝EA＝AF＝CF，

∴四边形CFAE为菱形．

（2）∵四边形CFAE为菱形，

又∵E是AB边的中点，

∴OA＝OC，OE＝OF，

∴OE＝

BC＝8，

∴OF＝8.

8．[2018·

内江]如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是AB、BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.

求证：

（1）△AED≌△CFD；

（2）四边形ABCD是菱形．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.

在△AED和△CFD中，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

（2）由

（1）得△AED≌△CFD，∴AD＝DC.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

9．如图，小刚在研究矩形性质时，把两张完全相同的矩形纸片叠放在一起（矩形ABCD和矩形BFDE），请你帮他判断重叠部分的四边形BNDM的形状，并给出证明．

四边形BNDM是菱形．

∵四边形ABCD、四边形BFDE是矩形，

∴MB∥DN，BN∥MD，

∴四边形BNDM是平行四边形．

在△ABM和△EDM中，

∴△ABM≌△EDM，

∴BM＝DM，

∴四边形BNDM是菱形．

10．[2017春·

邗江区校级月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P.判断四边形MDPE的形状，并说明理由．

　　　　　　　　　　　　　　答图

四边形MDPE为菱形，理由：

如答图，连结AM.

∵ME⊥AC，DF⊥AC，∴ME∥DF.

∵MD⊥AB，EG⊥AB，∴MD∥EG，

∴四边形MDPE是平行四边形．

∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM是角平分线，

∴MD＝ME，∴四边形MDPE为菱形．

11．如图，在

ABCD中，点E为BC边上的一点，连结AE、BD，且AE＝AB.

（1）求证：

∠ABE＝∠EAD；

（2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：

在

ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EAD.

∵AE＝AB，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴∠ABE＝∠EAD.

（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE.

∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，

∴∠ABE＝2∠ADB.

∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，

∴AB＝AD.

又∵四边形ABCD是平行四边形，