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（33）变量只能取）变量只能取00或或11时，称之为时，称之为0-10-1整数规划。

整数规划。

整数规划的特点11、整数规划最优解的情况整数规划最优解的情况原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。

规划最优解一致。

整数规划无可行解。

有可行解（当然就存在最优解），但最优解值一定不会有可行解（当然就存在最优解），但最优解值一定不会优于原线性规划的最优值。

优于原线性规划的最优值。

22、整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

、整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

方法有：

（ii）分枝定界法）分枝定界法可求纯或混合整数线性规划。

可求纯或混合整数线性规划。

（iiii）割平面法）割平面法可求纯或混合整数线性规划。

（iiiiii）隐枚举法）隐枚举法求解求解“0-1”0-1”整数规划：

整数规划：

过滤隐枚举法；

分枝隐枚举法。

（iviv）匈牙利法）匈牙利法解决指派问题（解决指派问题（“0-1”0-1”规划特殊情形）。

规划特殊情形）。

（vv）蒙特卡洛法）蒙特卡洛法求解各种类型规划。

求解各种类型规划。

二、分支定界法二、分支定界法分支定界法的分支定界法的基本思想基本思想:

先求出相应的先求出相应的（LP）问题的最优解，问题的最优解，然后适当地增加约束（即除去然后适当地增加约束（即除去LP的一部分不包含整数可行解的的一部分不包含整数可行解的可行解），逐步达到求出可行解），逐步达到求出ILP的最优解的目的。

的最优解的目的。

例例33求解求解ILP问题问题解解先求出与先求出与ILP相应的相应的LP问题问题的最优解的最优解由于由于，因而在，因而在2x2z

（2），则称，则称L2为为暂失希望问题暂失希望问题，而称，而称L1为为活问题活问题，并对，并对L1继续实施前面步骤。

继续实施前面步骤。

由于由于，因而在，因而在3x14之间已不可能有之间已不可能有ILP的最优解，的最优解，故此部分可行域可删除故此部分可行域可删除问题问题L1化为在剩余两块可行域上的两个化为在剩余两块可行域上的两个LP问题问题L1,1和和L1,2，即，即,这样实际上把这样实际上把LP解解L1,1和和L1,2得最优解分别为得最优解分别为X（1,1）=（3,2）,z（1,1）=13和和X（1,2）=（4,1）,z（1,2）=14注注：

暂失希望问题有可能转变成为活问题，只有其被确定：

暂失希望问题有可能转变成为活问题，只有其被确定为查清问题时，才能删除之。

为查清问题时，才能删除之。

且且z（1,1）z

（2）,则则L2亦为已查清问题，应被淘汰（或剪亦为已查清问题，应被淘汰（或剪枝）枝）至此可得，问题至此可得，问题L1,2为的最优解为原为的最优解为原ILP问题的最优解，问题的最优解，即原问题的最优解为即原问题的最优解为X*=X（1,2）=（4,1）z*=z（1,2）=14x13x14x22x23分支定界法的枝形推理图示：

分支定界法的枝形推理图示：

0-1规划11、引入引入0-10-1变量的实际问题变量的实际问题相互排斥的计划。

相互排斥的计划。

相互排斥的约束条件相互排斥的约束条件。

关于固定费用的问题关于固定费用的问题。

在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。

那时总设固定成本在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。

那时总设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必明显列出。

但有些固定费用（固定为常数，并在线性规划的模型中不必明显列出。

但有些固定费用（固定成本）的问题不能用一般线性规划来描述，但可改变为混合整数规划来成本）的问题不能用一般线性规划来描述，但可改变为混合整数规划来解决，解决，.例例某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而定的生产方式投资高（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降低；

反之，如选定的生产方式投资低，分配到每件产品的变动成本就降低；

反之，如选定的生产方式投资低，将来分配到每件产品的变动成本可能增加。

所以必须全面考虑。

将来分配到每件产品的变动成本可能增加。

0-1规划的解法下面举例说明一种解型整数规划的隐枚举法。

下面举例说明一种解型整数规划的隐枚举法。

求解思路蒙特卡洛法（随机取样法）蒙特卡洛法（随机取样法）然而，尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；

然而又由于整然而，尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；

然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。

当然，当自变量维数很大和数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。

当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出最优值是不取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出最优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下，完全现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下，完全可以得出一个满意解。

可以得出一个满意解。

前面介绍的常用的整数规划求解方法，主要是针对线性整数规划而言，前面介绍的常用的整数规划求解方法，主要是针对线性整数规划而言，而对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而有效的求解方法，因为非而对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而有效的求解方法，因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找到，更何况是非线性整数规划。

线性规划本身的通用有效解法尚未找到，更何况是非线性整数规划。

例：

对该题，目前尚无有效方法求出准确解。

如果用显枚举法试探，共需计对该题，目前尚无有效方法求出准确解。

如果用显枚举法试探，共需计算个点，其计算量非常之大。

然而应用蒙特卡洛去随机计算个点，便可算个点，其计算量非常之大。

然而应用蒙特卡洛去随机计算个点，便可找到满意解，那么这种方法的可信度究竟怎样呢？

找到满意解，那么这种方法的可信度究竟怎样呢？

假设目标函数落在高值区的概率分别为假设目标函数落在高值区的概率分别为0.010.01，0.000010.00001，则当计算，则当计算10000001000000个点后，有任一个点能落在高值区的概率分别为个点后，有任一个点能落在高值区的概率分别为

（1）选址问题）选址问题选址问题的分类（11）P-P-中位问题中位问题P-P-中位问题（也叫中位问题（也叫P-P-中值问题）是研究如何选择中值问题）是研究如何选择PP个服务个服务站使得需求点和服务站之间的距离与需求量的乘积之和最站使得需求点和服务站之间的距离与需求量的乘积之和最小。

小。

HakimiHakimi提出该问题之后，他证明了提出该问题之后，他证明了P-P-中位问题的服中位问题的服务站候选点限制在网络节点上时至少有一个最优解是与不务站候选点限制在网络节点上时至少有一个最优解是与不对选址点限制时的最优解是一致的，所以将网络连续选址对选址点限制时的最优解是一致的，所以将网络连续选址的的P-P-中位问题简化到离散选址问题不会影响到目标函数中位问题简化到离散选址问题不会影响到目标函数的最优值。

的最优值。

（22）P-P-中心问题中心问题P-P-中心问题也叫中心问题也叫minmaxminmax问题，是探讨如何在网络中选择问题，是探讨如何在网络中选择PP个服务站，使得任意一需求点到距离该需求点最近的服个服务站，使得任意一需求点到距离该需求点最近的服务站的最大距离最小问题。

务站的最大距离最小问题。

（33）覆盖问题（）覆盖问题（coveringproblemscoveringproblems）覆盖问题分为最大覆盖问题和集覆盖问题两类。

覆盖问题分为最大覆盖问题和集覆盖问题两类。

集覆盖问题研究满足覆盖所有需求点顾客的前提下，服务集覆盖问题研究满足覆盖所有需求点顾客的前提下，服务站总的建站个数或建设费用最小的问题。

站总的建站个数或建设费用最小的问题。

最大覆盖问题或最大覆盖问题或P-P-覆盖问题是研究在服务站的数目和服覆盖问题是研究在服务站的数目和服务半径已知的条件下，如何设立务半径已知的条件下，如何设立PP个服务站使得可接受个服务站使得可接受服务的需求量最大的问题。

服务的需求量最大的问题。

（44）带固定费用和容量限制的选址问题）带固定费用和容量限制的选址问题最容易也最常想到也最有实际意义的就是考虑服务站建站最容易也最常想到也最有实际意义的就是考虑服务站建站的固定费用和服务站的容量的固定费用和服务站的容量（服务能力服务能力）限制这两个因素，限制这两个因素，所以早期对基本选址问题的扩展研究较多地集中在将这两所以早期对基本选址问题的扩展研究较多地集中在将这两个因素加进基本选址问题上。

个因素加进基本选址问题上。

无容量限制固定费用下的选址问题无容量限制固定费用下的选址问题（UFLP）（UFLP）就是将固定建站就是将固定建站费用加到费用加到P-P-中位问题的目标函数上，并且去掉对服务站中位问题的目标函数上，并且去掉对服务站建站个数的约束。

建站个数的约束。

（55）选址分配问题）选址分配问题选址分配问题的一般形式类似于选址分配问题的一般形式类似于P-P-中位问题中位问题（66）随机选址问题）随机选址问题随机选址问题中考虑到现实世界的复随机选址问题中考虑到现实世界的复杂性，把服务站的运行时间、建设成本、需求点位置、需杂性，把服务站的运行时间、建设成本、需求点位置、需求数量等部分或全部输入参数看作是不确定的。

求数量等部分或全部输入参数看作是不确定的。

随机选址问题分为随机概率问题和随机情景问题。

随机。

随机概率问题是指输入参数是服从某种分布时的随机选址问题。

概率问题是指输入参数是服从某种分布时的随机选址问题。

（77）动态选址问题）动态选址问题动态选址问题研究的是在未来若干时间段内服务站的最优动态选址问题研究的是在未来若干时间段内服务站的最优选址问题，在不同的时间段内动态选址模型的参数值是不选址问题，在不同的时间段内动态选址模型的参数值是不同的，但在某一具体的时间段内模型参数是确定的。

同的，但在某一具体的时间段内模型参数是确定的。

（88）竞争选址问题）竞争选址问题竞争选址问题考虑市场上存在两个以上的同类产品或服务竞争选址问题考虑市场上存在两个以上的同类产品或服务的提供者，或服务站提供多个产品或服务。

的提供者，或服务站提供多个产品或服务。

2指派问题解解则数学模型为：

则数学模型为：

（3）货郎担问题）货郎担问题