机械优化设计方法PPT资料.ppt

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优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面：

1）目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题。

结构型式的选择还需进一步研究解决。

2）优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高。

3）把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。

三、本课程的主要内容1.建立优化设计的数学模型2.选择合适的优化方法3.编制计算机程序，求得最佳设计参数第一章机械优化设计概述第一节应用实例机械优化设计问题来源于生产实际。

现在举典型实例来说明优化设计的基本问题。

图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3N。

人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1Mpa，材料密度=7.8/，许用压应力=420MPa。

求在钢管压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。

图2-2人字架的受力人字架的优化设计问题归结为：

使结构质量但应满足强度约束条件稳定约束条件钢管所受的压力失稳的临界力钢管所受的压应力钢管的临界应力强度约束条件可以写成稳定约束条件可以写成人字架的总质量这个优化问题是以D和h为设计变量的二维问题，且只有两个约束条件，可以用解析法求解。

除了解析法外，还可以采用作图法求解。

1-3人字架优化设计的图解第三节优化设计问题的数学模型一、设计变量在优化设计的过程中，不断进行修改、调整，一直处于变化的参数称为设计变量。

设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：

图2-4设计空间二、约束条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。

约束性能约束侧面约束针对性能要求只对设计变量的取值范围限制（又称边界约束）（按性质分）按数学表达形式分：

约束等式约束不等式约束可行域：

凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。

一般情况下，其设计可行域可表示为：

图2-5二维问题的可行域三、目标函数目标函数是设计变量的函数，是设计中所追求的目标。

如：

轴的质量，弹簧的体积，齿轮的承载能力等。

在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。

目标函数的一般表示式为：

优化设计的目的就是要求所选择的设计变量使目标函数达到最佳值，即使通常目标函数单目标设计问题多目标设计问题目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即四、优化问题的数学模型优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。

优化设计问题的一般数学表达式为：

数学模型的分类：

（1）按数学模型中设计变量和参数的性质分：

确定型模型随机型模型设计变量和参数取值确定设计变量和参数取值随机

（2）按目标函数和约束函数的性质分：

a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数称为线性规划问题，其数学模型一般为：

b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为二次规划问题。

其一般表达式为：

五、优化问题的几何解释无约束优化：

在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。

其极小点在目标函数等值面的中心。

约束优化：

在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。

其极小点在可行域内或在可行域边界上。

第四节优化设计问题的基本解法求解优化问题的方法：

解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题图1-11寻求极值点的搜索过程第二章优化设计的数学基础机械设计问题一般是非线性规划问题。

实质上是多元非线性函数的极小化问题，因此，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。

机械优化设计问题分为：

无约束优化约束优化无条件极值问题条件极值问题第一节多元函数的方向导数与梯度一、方向导数从多元函数的微分学得知，对于一个连续可微函数f（x）在某一点的一阶偏导数为：

，它表示函数f（x）值在点沿各坐标轴方向的变化率。

有一个二维函数，如图2-1所示。

图2-1函数的方向导数其函数在点沿d方向的方向导数为二、二元函数的梯度对于二维函数在点处的梯度设为d方向的单位向量，则有即三、多元函数的梯度沿d方向的方向向量即图2-5梯度方向与等值面的关系若目标函数f（x）处处存在一阶导数，则极值点的必要条件一阶偏导数等于零，即满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极小点，还得给出极值点的充分条件设目标函数在点至少有二阶连续的偏导数，则在这一点的泰勒二次近似展开式为：

第二节多元函数的泰勒展开为N维函数f（x）在点处的Hesse矩阵泰勒展开写成向量矩阵形式

（1）F（X*）=0；

必要条件

（2）Hesse矩阵G（X*）为正定。

充分条件多元函数f（x）在处取得极值，则极值的条件为为无约束极小点的充分条件其Hesse矩阵G（X*）为正定的。

则极小点必须满足为无约束优化问题的极值条件同学考虑二元函数在处取得极值的充分必要条件。

各阶主子式大于零例：

求函数的极值第四节凸集、凸函数与凸规划前面我们根据函数极值条件确定了极小点则函数f（x）在附近的一切x均满足不等式所以函数f（x）在处取得局部极小值，称为局部极小点。

而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的全局极小点。

函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？

图2-7下凸的一元函数一、凸集的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。

一个点集（或区域），如果连接其中任意两点凸集的性质二、凸函数函数f（x）为凸集定义域内的函数，若对任何的及凸集域内的任意两点存在如下不等式：

称是定义在凸集上的一个凸函数。

三、凸性条件1.根据一阶导数（函数的梯度）来判断函数的凸性设f（x）为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数的函数，则f（x）在R上为凸函数的充要条件是对凸集R内任意不同两点，不等式恒成立。

2.根据二阶导数（Hesse矩阵）来判断函数的凸性设f（x）为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f（x）在R上为凸函数的充要条件Hesse矩阵在R上处处半正定。

四、凸规划对于约束优化问题若都为凸函数，则此问题为凸规划。

凸规划的性质：

1.若给定一点，则集合为凸集。

2.可行域为凸集3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解第五节等式约束优化问题的极值条件约束优化等式约束不等式约束求解这一问题的方法消元法拉格朗日乘子法1.消元法（降维法）以二元函数为例讨论。

二、拉格朗日乘子法（升维法）对于具有L个等式约束的n维优化问题处有将原来的目标函数作如下改造：

拉格朗日函数待定系数新目标函数的极值的必要条件例2-4用拉格朗日乘子法计算在约束条件的情况下，目标函数的极值点坐标。

第六节不等式约束优化问题的极值条件在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束条件的优化问题。

有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式约束的多元函数的极值的必要条件。

库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件一、一元函数在给定区间上的极值条件一元函数f（x）在给定区间a,b上的极值问题，可以写成下列具有不等式约束条件的优化问题：

拉格朗日乘子法，除了可以应用于等式的极值问题，还可以用于不等式的极值问题。

需引入松弛变量，将不等式约束变成等式约束。

设a1和b1为两个松弛变量，则上述的不等式约束可写为：

则该问题的拉格朗日函数根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件：

由（起作用约束）（不起作用约束）同样，来分析起作用何不起作用约束。

因此，一元函数在给定区间的极值条件，可以表示为：

多元库恩-塔克条件分析极值点在区间的位置，有三种情况当时，此时，则极值条件为当时，此时则极值条件为即当时，此时，则极值条件为即从以上分析可以看出，对应于不起作用的约束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用约束的下标集合。

一元函数在给定区间的极值条件，可以改写为：

极值条件中只考虑起作用的约束和相应的乘子。

二、库恩-塔克条件仿照一元函数给定区间上极值条件的推导过程，可以得到具有不等式约束多元函数极值条件：

用起作用约束的下标集合表示用梯度形式表示，可得或库恩-塔克条件的几何意义：

在约束极小点处，函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度的非负线性组合。

下面以二维问题为例，说明K-T条件的几何意义从图中可以看出，处在和角锥之内，即线性组合的系数为正，是在取得极值的必要条件。

三、库恩-塔克条件应用举例若给定优化问题的数学模型为K-T条件第三章一维搜索方法采用数学规划法求函数极值点的迭代计算：

K+1次迭代的搜索方向搜索的最佳步长因子当搜索方向给定，求最佳步长就是求一元函数的极值。

称为一维搜索。

是优化搜索方法的基础。

求解一元函数的极小点，可用解析法。

上式求的极值，即求导数为零。

则从上式看，需要求导进行计算，对于函数关系复杂的，解析法十分不便。

数值法的基本思路：

确定的搜索区间，在不断缩小区间，最终获得近似值。

第二节搜索区间的确定和区间消去法原理一、确定搜索区间的外推法图3-2正向搜索的外推法图3-3反向搜索的外推法三、区间消去法原理为了避免多计算函数值，将第三种情况合并到前两种情况中。

三、一维搜索方法的分类从前面的分析可知，每次缩短区间，只需要在区间内在插入一点并计算其函数值。

而插入点的位置，可以由不同的方法来确定。

就形成了不同的一维搜索方法。

一维搜索方法分类试探法插值法黄金分割法二次插值法第三节一维搜索的试探法最常用的一维搜索试探法是黄金分割法，又称0.618法。

要求插入点a1、a2的位置相对于区间a,b两端点具有对称性。

除对称要求外，黄金分割法还要求在保留下来的区间再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。

2所谓的“黄金分割”是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段的比值，即第四节一维搜索的插值方法假定要在某一区间内寻找函数的极小点的位置，虽然没有函数表达式，但能够给出若干试验点处的函数值。

我们可以根据这些点处的函数值，利用插值的方法建立函数的近似表达式，进而求处函数的极小点，作为原来函数的极小点的近似值。

这种方法称作插值法，也称函数逼近法。

一、牛顿法（切线法）一维搜索函数，假定一给出极小点的一个较好的近似点，因为一个连续可微的函数在极小点附近与一个二次函数很接近，因此，在点附近用一个二次函数逼近。

求二次函数的极小点作为极小点的新近似点即依次继续下去，可得牛顿法迭代公式：

牛顿法的几何解释：

牛顿法的计算步骤：

给定初始点，控制误差，并令k=0。

1）计算2）求3）若则求得近似解，停止计算，否则作4。

4）令转1。

优点：

收敛速度快。

缺点：

每一点都要进行二阶导数，工作量大；

要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极小点。

二、二次插值（抛物线法）利用在单谷区间中的函数值，作出如下的二次插值多项式它应满足条件

（1）从极值的必要条件求得

（2）（3