杨辉三角与二次项系数的性质一PPT资料.ppt

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我们先通过观察质？

我们先通过观察n为特殊值时，二项式系为特殊值时，二项式系数有什么特点？

数有什么特点？

1615201561（a+b）1（a+b）3（a+b）4（a+b）5（a+b）2（a+b）61112113311464115101051（a+b）nCn0Cn1Cn2CnrCnn（a+b）1（a+b）2（a+b）3（a+b）4（a+b）5（a+b）6议一议议一议11）请看系数有没有明显的规律？

）请看系数有没有明显的规律？

22）上下两行有什么关系吗？

上下两行有什么关系吗？

33）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?

每行两端都是每行两端都是1Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1（a+b）1（a+b）2（a+b）3（a+b）4（a+b）5（a+b）6+这个表叫做二项式系数这个表叫做二项式系数表表,也称也称“杨辉三角杨辉三角”二项式系数的函数观点二项式系数的函数观点展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：

系数依次是：

从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数,其定义域是：

其定义域是：

当当n=6时，其图象是时，其图象是7个孤立点个孤立点定义域定义域0,1,2,n二项式系数的性质二项式系数的性质（11）对称性）对称性与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式得到得到图象的对称轴：

图象的对称轴：

（a+b）1（a+b）2（a+b）3（a+b）4（a+b）5（a+b）622、若（、若（a+ba+b）nn的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与式系数与第五项的第五项的二项式系数相等，二项式系数相等，11、在、在（a（ab）b）展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是（）（）AA第项第项BB第项第项CC第项第项DD第项第项则则n=_n=_BB66请问请问:

一般地一般地,当当rr满足什么范围时，后一项满足什么范围时，后一项CCnnkk比前一项比前一项CCnnk-1k-1要大要大?

分析分析:

以上问题即以上问题即CCnnkkCCnnk-1k-1时，求时，求kk的范围的范围?

知识对接测查知识对接测查1（22）增减性与最大值）增减性与最大值由于由于：

所以所以相对于相对于的增减情况由的增减情况由决定决定二项式系数的性质二项式系数的性质由由：

即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。

可知，当可知，当时，时，二项式系数的性质二项式系数的性质因此因此,当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式系数系数取得最大值；

取得最大值；

当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。

相等，且同时取得最大值。

先增后减，先增后减，中间项取得最大值中间项取得最大值二项式系数的性质二项式系数的性质（22）增减性与最大值）增减性与最大值1.在在（1+x）4的展开式中，二项式系数最大的项是的展开式中，二项式系数最大的项是；

二项式系数最大的项是第二项式系数最大的项是第项项.在在（1-x）11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为，.2.在二项式在二项式（x-1）11的展开式中的展开式中,求系数最小的项的系数。

求系数最小的项的系数。

最大的系数呢？

知识对接测查知识对接测查23二项式系数的性质二项式系数的性质（33）各二项式系数的和）各二项式系数的和在二项式定理中，令在二项式定理中，令，则：

，则：

这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：

同时由于同时由于，上式还可以写成：

，上式还可以写成：

这是这是组合总数公式组合总数公式赋值法赋值法例例11、证明：

在证明：

在（ab）n展开式中展开式中,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：

即证：

n-1n-1证明证明令令a=1,=1,b=-1=-1得得特例法特例法赋值法赋值法知识对接测查知识对接测查3分析分析:

本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加倒序相加法倒序相加法一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数有如下性质：

有如下性质：

（11）（22）（33）当）当nn为偶数时，为偶数时，（44）当当nn为奇数时为奇数时，4项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系项的二项式系数的数的7倍，求展开式中倍，求展开式中x的一次项的一次项例例2已知已知的展开式中，第的展开式中，第例例3、若若展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差数列，求数列，求

（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；

的一次幂的项；

（2）展开式中所有展开式中所有x的有理项；

的有理项；

（3）展开式中系数最大的项。

）展开式中系数最大的项。

解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定rr的取值的取值变式引申：

变式引申：

1.1.求在求在的展开式中系数的展开式中系数绝对值绝对值最大的项最大的项解：

设系数绝对值最大的项是第解：

设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为变式引申：

2、的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第第4项项B.第第4、5项项C.第第5项项D.第第3、4项项3、若、若展开式中的第展开式中的第6项的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于（）A.210B.120C.461D.416解

（1）二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质

（2）数学思想：

函数思想数学思想：

函数思想a单调性；

单调性；

b图象；

图象；

c最值。

最值。

小结小结求展开式中系数最大求展开式中系数最大（小小）的项的项解解:

设设项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是所以它们的比是解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定rr的取值的取值