变化率问题优质PPT.ppt

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的经营成果？

合作探究合作探究1合作探究合作探究2某市某市2016年年4月月20日日最高气温为最高气温为33.4,而此前的而此前的两天两天,4月月19日日和和4月月18日日最高气温分别为最高气温分别为24.4和和18.6,短短两天时间短短两天时间,气温气温“陡增陡增”14.8,闷热中闷热中的人们无不感叹的人们无不感叹:

“天气热得太快了！

天气热得太快了！

”但是，如果我们将该市但是，如果我们将该市2016年年3月月18日日最高气温最高气温3.5与与4月月18日日最高气温最高气温18.6进行比较进行比较,我们发现我们发现两者温差为两者温差为15.1,甚至超过了甚至超过了14.8.而人们却不会而人们却不会发出上述感叹发出上述感叹.你能解释为什么吗你能解释为什么吗?

考虑事物的变化需要针对考虑事物的变化需要针对考虑事物的变化需要针对考虑事物的变化需要针对22个量进行比较个量进行比较个量进行比较个量进行比较!

观察观察为什么跳为什么跳水运动员的速水运动员的速度越来越快呢度越来越快呢？

解决以上问题解决以上问题,就需要我就需要我们来学习一种新的函数来解释们来学习一种新的函数来解释这种现象！

这种现象！

1.1导数概念在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。

如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。

本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念导数与微分，然后再介绍它们的计算方法，从而解决有关变化率的计算问题。

导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。

导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。

1.1.1变化率问题变化率问题丰富多彩的变化率问题丰富多彩的变化率问题随处可见随处可见.让我们从其中的让我们从其中的两个问题，开始变化率与导两个问题，开始变化率与导数的学习吧！

数的学习吧！

1.1变化率与导数变化率与导数问题问题1气球膨胀率气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学从数学角度角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?

l气球的体积气球的体积V（单位单位:

L）与半径与半径r单位单位:

（dm）之间的函数关系是之间的函数关系是l如果将半径如果将半径rr表示为体积表示为体积VV的函数的函数,那么那么l当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加气球半径增加气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为l当当VV从从11增加到增加到22时时,气球半径增加气球半径增加气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为显然显然0.620.16思思考考l当空气当空气容量从容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少?

问题问题2高台跳水高台跳水想想运想想运动员跳水的动员跳水的过程？

过程？

在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h（单位：

米单位：

米）与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：

（单位：

秒）存在函数关系秒）存在函数关系h（t）=-4.9tt22+6.5t+10.如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态略地描述其运动状态?

请计算请计算高台跳水问题中高台跳水问题中,h（t）=-4.9th（t）=-4.9t22+6.5t+10.+6.5t+10.hto平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.思思考考l当时间从当时间从tt11增加到增加到tt22时时,运动员的平均平运动员的平均平均速度是多少均速度是多少?

h（t）=-4.9th（t）=-4.9t22+6.5t+10+6.5t+10总结总结以上两个问题都是求变化率，以上两个问题都是求变化率，我们可以用函数关系式我们可以用函数关系式y=f（x）来表来表示示.那么变化率为那么变化率为若设若设x=x2x1,y=f（x2）f（x1）l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子表示表示我们称之为函数我们称之为函数f（x）从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率1.1.平均变化率的定义平均变化率的定义这里这里x是是x1的一个的一个“增量增量”：

x2x1+x;

y是是（x1）的一个的一个“增量增量”:

f（x2）=f（x1）+y.注意！

注意！

2.2.是一个整体符号，而不是是一个整体符号，而不是与与相乘相乘.11xx是自变量是自变量xx的改变量，它可以为正，的改变量，它可以为正，也可以为负，但也可以为负，但不能等于零不能等于零，而，而yy是相是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也负，也可以等于零可以等于零，特别是当函数为常数，特别是当函数为常数函数时，函数时，yy0.0.例题例题11、已知函数已知函数f（x）=-x2的图象上的一点的图象上的一点A（-1,-1）及临近一点及临近一点B（0,0）,则则y/x=（）=（）A.3B.4C.1D.-1c思考思考观察函数观察函数f（x）的图象的图象AA点到点到BB点的点的平均变化率平均变化率表示什么表示什么?

OOAABBxxyyY=f（x）xx11xx22f（xf（x11）f（xf（x22）XX22-x-x11f（xf（x22）-f（x）-f（x11）割线割线ABAB的的斜率斜率2.2.平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义例例2

（1）计算函数计算函数f（x）=2x+1在区间在区间3,1上的平均变化率上的平均变化率；

（2）求函数求函数f（x）=x2+1在在XX00附近的平均变化率。

附近的平均变化率。

（1）解：

解：

y=f（-1）-f（-3）=4x=-1-（-3）=2

（2）解：

y=f（x0+x）-f（x0）=2xx0+（x）2求函数的平均变化率的步骤：

求函数的平均变化率的步骤：

（1）求函数的增量求函数的增量y=f（x2）-f（x1）;

（2）计算平均变化率计算平均变化率1已已知知函函数数f（x），当当自自变量量由由x0变化化到到x1时函函数数值的的增增量量与与相相应的的自自变量量的的增增量量比比是是函数函数（）A在区在区间x0，x1上的平均上的平均变化率化率B在在x0处的的变化率化率C在在x1处的的变化率化率D以上以上结论都不都不对随堂练习随堂练习A解析解析yf（1x）f

（1）（1x）31（x）33（x）23x，3、过曲曲线y=f（x）=x3上两点上两点P（1，1）和和Q（1+x,1+y）作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.作作业业求求y=1/xy=1/x在在x=xx=x00附近的平均附近的平均变化率变化率.