同济大学微积分课件PPT资料.ppt

同济大学微积分课件PPT资料.ppt

《同济大学微积分课件PPT资料.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分课件PPT资料.ppt（46页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2.集合的运算集合的运算集合的集合的交交交交:

集合的集合的并并并并:

集合的集合的差差差差:

设设是两个集合，由此定义如下几个集合：

是两个集合，由此定义如下几个集合：

集合的运算满足如下运算率：

交换率交换率交换率交换率:

结合率结合率结合率结合率:

分配率分配率分配率分配率:

3.区间和邻域区间和邻域开区间开区间开区间开区间:

闭区间闭区间闭区间闭区间:

设设是实数，且是实数，且半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间:

无穷区间无穷区间无穷区间无穷区间:

注意：

无穷端不能写成闭的记号注意：

无穷端不能写成闭的记号设设是实数，且是实数，且则定义则定义点点的的邻域邻域为集合：

为集合：

邻域邻域邻域邻域：

如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点点的空的空心邻域心邻域心邻域心邻域：

1.映射的概念映射的概念二、映射二、映射设设是两个非空集合，如果存在一个是两个非空集合，如果存在一个法则法则使得使得而元素而元素称为称为的象，记作的象，记作，即即对对中的每个元素中的每个元素按此法则在按此法则在中有唯一的元素中有唯一的元素与之对应，那么称与之对应，那么称为为从从到到的映射的映射，记作，记作例例设设则则是是到到的映射的映射.例例设设则则是是到到的映射的映射.2.几类重要映射几类重要映射一一对应一一对应一一对应一一对应：

既单又满的映射称为一一对应：

既单又满的映射称为一一对应.例例在前面的两例中，例在前面的两例中，例2是一一对应，而例是一一对应，而例1则不是则不是.设设是是到到的映射的映射.满射满射满射满射：

若：

若即即使得使得单射单射单射单射：

若则必有则必有3.逆映射与复合映射逆映射与复合映射则则：

逆映射：

设逆映射：

设是是到到的一一映射，则对的一一映射，则对中任一元素中任一元素例例设设可以确定可以确定中的唯一元素中的唯一元素满足满足称此对应称此对应关系为映射关系为映射的的逆映射逆映射，记为，记为复合映射复合映射：

设有映射：

设有映射其中其中称此映射为由称此映射为由构成的复合映射，记为构成的复合映射，记为由此可以确定一个从由此可以确定一个从到到的映射的映射例：

设例：

设则复合映射则复合映射为为1.概念概念三、一元函数三、一元函数从数集从数集到实数集到实数集的任一映射的任一映射称为定义在称为定义在上的上的称为称为的图象的图象.而数集而数集则称为函数则称为函数一元函数一元函数一元函数一元函数，通常记为，通常记为而而中的集合中的集合的的定义域定义域定义域定义域.注：

在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的注：

在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的例例则定义域为则定义域为例例则定义域为则定义域为方式给出，即定义域为使方式给出，即定义域为使表达式有效的一切实数表达式有效的一切实数.以下例中函数的定义域均为实数集。

以下例中函数的定义域均为实数集。

例例3符号函数符号函数例例取整函数取整函数12345-2-4-4-3-2-14321-1-32.函数的几种特性函数的几种特性有界有界无界无界有界性有界性有界性有界性设函数设函数的定义域为的定义域为数集数集如果如果都有都有就称就称在在上有界上有界,否则称为无界函数否则称为无界函数.例例在在上是有界函数，上是有界函数，在在上无界上无界.域内是无界函数域内是无界函数.例例试说明函数试说明函数在在的任何空心邻的任何空心邻解解设设，取，取，其中其中则则所以所以无界无界.单调性单调性设函数设函数的定义域为的定义域为区间区间如果对任意的如果对任意的当当时，总有时，总有则称函数则称函数为区间为区间上的单调增加函数；

上的单调增加函数；

如果如果时，总有时，总有则称函数则称函数为区间为区间上的单调减少函数上的单调减少函数.图形特征：

图形特征：

单调增加函数图形单调增加函数图形单调减少函数图形单调减少函数图形奇偶性奇偶性设函数设函数的定义域为的定义域为关于原点对称，关于原点对称，如果对任意的如果对任意的都有都有就称就称为偶函数；

为偶函数；

如果对任意的如果对任意的都有都有就称就称为奇函数为奇函数.图形特征：

偶函数偶函数奇函数奇函数使得对任意的使得对任意的当当总有总有通常我们说的周期指的是最小正周期通常我们说的周期指的是最小正周期.周期函数周期函数设函数设函数的定义域为的定义域为如果存在数如果存在数就称就称为周期函数，为周期函数，称为称为的周期的周期.例如，例如，的最小正周期是的最小正周期是例：

狄利克雷函数例：

狄利克雷函数则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期.3.反函数和复合函数反函数和复合函数反函数反函数设函数设函数是一一对应，是一一对应，则其逆映则其逆映注：

习惯上用注：

习惯上用表示为自变量，所以函数表示为自变量，所以函数的的射射为为的反函数的反函数.的反函数的反函数仍表示为仍表示为注：

函数注：

函数与它的反函数与它的反函数的图形的图形关于关于对称对称.复合函数复合函数复合函数本质上是复合映射在函数上的推广复合函数本质上是复合映射在函数上的推广.当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即得到复合函数的定义函数的定义.4.基本初等函数基本初等函数幂函数幂函数（是常数）是常数）指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数反余弦函数反余弦函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数5.初等函数初等函数由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的函数称为初等函数有限次的复合运算所得到的函数称为初等函数.6.双曲函数双曲函数最后再简单介绍在工程技术中经常用到的一类函数最后再简单介绍在工程技术中经常用到的一类函数双曲正弦函数双曲正弦函数双曲余弦函数双曲余弦函数双曲函数双曲函数.