二重积分优质PPT.ppt

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n第一节：

@#@二重积分的概念与性质n第二节：

@#@二重积分的计算n第三节：

@#@二重积分的应用n第四节：

@#@三重积分11/6/20221一、二重积分的概念一、二重积分的概念一、二重积分的概念一、二重积分的概念二、二重积分的性质二、二重积分的性质二、二重积分的性质二、二重积分的性质第十章第十章第十章第十章重重重重积积积积分分分分第一节二重积分的概念与性质第一节二重积分的概念与性质11/6/20222一、二重积分的概念一、二重积分的概念一、二重积分的概念一、二重积分的概念例例1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.设有一立体的底是设有一立体的底是xy面面上的有界闭区域上的有界闭区域D，侧面是侧面是以以D的边界曲线为准线、的边界曲线为准线、母母线平行于线平行于z轴的柱面，轴的柱面，顶是由顶是由二元非负连续函数二元非负连续函数z=f（x,y）所表示的曲面所表示的曲面.这个立体称为这个立体称为D上的上的曲顶柱体曲顶柱体.试求该曲顶柱体的体积试求该曲顶柱体的体积.1.引例引例DxyzO11/6/20223称为子域：

@#@称为子域：

@#@1,2,n,并并以以i（i=1,2,n）表示第表示第i个子域的面积，个子域的面积，

（1）分割分割.将区域将区域D任意分成任意分成n个小区域，个小区域，然然后后对对每每个个子子域域作作以以它它的的边界曲线为准线、边界曲线为准线、母线平行母线平行z轴的柱面轴的柱面.这这些些柱柱面面就就把原来的曲顶柱体分成把原来的曲顶柱体分成n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.解解曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积11/6/20224

（2）近似近似.在每个小曲顶柱体的底在每个小曲顶柱体的底i上任取一点上任取一点（i,i）（i=1,2,n），用以用以f（i,i）为高、为高、i为为底的平顶柱体的体积底的平顶柱体的体积f（i,i）i，近近似似替替代代第第i个个小曲顶柱体的体积，小曲顶柱体的体积，即即Vif（i,i）i.11/6/20225（3）求和求和.将这将这n个小平顶柱体的体积相加，个小平顶柱体的体积相加，得得到原曲顶柱体体积的近似值，到原曲顶柱体体积的近似值，即即（4）取极限取极限.将区域将区域D无限细分且每一个子域趋无限细分且每一个子域趋向于缩成一点，向于缩成一点，这这个个近近似似值值就就趋趋向向于于曲曲顶顶柱柱体体的的体体积，积，即即其中其中是这是这n个子域的最大直径个子域的最大直径（有界闭区域的直径有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值是指区域中任意两点间距离的最大值）.）.11/6/20226例例2设有一平面薄片占有设有一平面薄片占有xy平面上的区域平面上的区域D，如图，如图，平面薄片的质量平面薄片的质量.它的面密度它的面密度（单位面积上的质量单位面积上的质量）为为D上的连续函数上的连续函数（x,y）.求该平面薄片的质量求该平面薄片的质量.11/6/20227即其质量可近似看成是均匀分布的即其质量可近似看成是均匀分布的.于是在于是在i上任上任取一点取一点（i,i），第第i块薄片的质量的近似值为块薄片的质量的近似值为将薄片将薄片（即区域即区域D）任意分成任意分成n个个子域子域1,2,n，并以并以i（i=1,2,n）表表示第示第i个子域的面积个子域的面积.解解

（1）分割分割.因此当因此当i的的直径很小时，直径很小时，

（2）近似近似由于由于（x,y）在在D上连续上连续，这个子域上的面密度的变化也很小，这个子域上的面密度的变化也很小，11/6/20228（4）取极限取极限.当当n个子域的最大直径个子域的最大直径0时，时，上述和式的极限就是所求薄片的质量，上述和式的极限就是所求薄片的质量，即即将这将这n个看成质量均匀分布的小块的个看成质量均匀分布的小块的质量相加得到整个平面薄片质量的近似值，质量相加得到整个平面薄片质量的近似值，（3）求和求和.即即11/6/202292.二重积分的定义二重积分的定义定义定义设二元函数设二元函数z=f（x,y）定义在有界闭区域定义在有界闭区域D上上.将区域将区域D任意分成任意分成n个子域个子域i（i=1,2,n）,并以并以i表示第表示第i个子域的面积个子域的面积.在在i上任取一点上任取一点（i,i），作和作和如果当各个子域的如果当各个子域的直径中的最大值直径中的最大值趋于零时，趋于零时，此和式的极限存在，此和式的极限存在，则则称此极限为函数称此极限为函数f（x,y）在闭区域在闭区域D上的二重积分上的二重积分，11/6/202210这时，这时，称称f（x,y）在在D上可积上可积，其中其中f（x,y）称为被称为被积函数积函数，称为被积表达式，称为被积表达式，d称为面积元称为面积元素，素，D称为积分域，称为积分域，称为二重积分号称为二重积分号.记为记为即即11/6/202211二重积分二重积分的的几何意义几何意义就是曲顶柱体的体积；@#@就是曲顶柱体的体积；@#@当当时，时，柱体在柱体在xy平面的下方，平面的下方，二重积分二重积分表示该柱体体积的相反值，表示该柱体体积的相反值，即即f（x,y）的绝对值在的绝对值在D上上的二重积分的二重积分才才是是该该曲曲顶顶柱柱体体的体积；@#@的体积；@#@当当f（x,y）在在定义区域定义区域D上有正有负时上有正有负时,则则二重积分二重积分的值为的值为3.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当当f（x,y）00时时，xy平平面面上上方方柱柱体体体体积之和减去下方柱体体积之差积之和减去下方柱体体积之差.11/6/202212二、二重积分的性质二、二重积分的性质二、二重积分的性质二、二重积分的性质性质性质1被积函数中的常数因子被积函数中的常数因子可以提到二重积可以提到二重积分号的外面，分号的外面，即即性质性质2函数的和函数的和（或差或差）的二重积分的二重积分等于各个函等于各个函数的二重积分的和数的二重积分的和（或差或差），即即11/6/202213性质性质3如果区域如果区域D被分成两个子区域被分成两个子区域D1与与D2，则在则在D上的二重积分上的二重积分等于各子区域等于各子区域D1、D2上的二重上的二重积分之和，积分之和，即即这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性.性质性质4如果在如果在D上，上，f（x,y）=1，且且D的面积为的面积为，则则11/6/202214性质性质5如果在如果在D上，上，则则推论推论函数在函数在D上的二重积分的绝对值上的二重积分的绝对值不大于不大于函数的绝对值在函数的绝对值在D上的二重积分上的二重积分.即即11/6/202215性质性质6如果如果M、m分别是函数分别是函数f（x,y）在在D上上的最大值与最小值，的最大值与最小值，为区域为区域D的面积，的面积，则则性质性质7（二重积分中值定理二重积分中值定理）设函数设函数f（x,y）在有在有界闭区域界闭区域D上连续，上连续，记记是是D的面积，的面积，则在则在D上至上至少存在一点少存在一点（,），使得使得11/6/202216一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法第二节第二节二重积分的计算方法二重积分的计算方法第十章第十章第十章第十章重重重重积积积积分分分分11/6/202217设设A（x）表示过点表示过点x任取子区间任取子区间x,x+dxa,b.且垂直且垂直x轴轴的的平面平面与曲顶柱体相交的截面的面与曲顶柱体相交的截面的面积，积，1.设积分区域设积分区域D可用不等式组表示为可用不等式组表示为如如图所示，图所示，选选x为积分变量，为积分变量，xa,b，一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法则曲顶柱体体积则曲顶柱体体积V的微元的微元dV为为11/6/202218式中面积函数式中面积函数A（x）是一个是一个以区间以区间1（x）,2（x）为为底边、底边、以曲线以曲线z=f（x,y）（x是是固定的固定的）为曲边的曲边梯形，为曲边的曲边梯形，其面积可表示为其面积可表示为11/6/202219将将A（x）代入上式，代入上式，则曲顶柱体的体积则曲顶柱体的体积于是于是，二重积分二重积分11/6/202220公式称为先积公式称为先积y（也称内积分对也称内积分对y）后积后积x（也称外也称外积分对积分对x）的累次积分公式的累次积分公式.它通常也可写成它通常也可写成这结果也适用于一般情形这结果也适用于一般情形.11/6/2022212.设积分区域设积分区域D可用不等式组表示为可用不等式组表示为如右图，则如右图，则11/6/202222首先在首先在xy平面上画出所围平面上画出所围成的区域成的区域D.若是先积若是先积y后积后积x时时，得投影区间得投影区间a,b，则把区域则把区域D投影到投影到x轴上，轴上，在在a,b上任意确定上任意确定一个一个x，这时这时a就是对就是对x积分积分（外积分外积分）的下限，的下限，b就是对就是对x积分积分（外积分外积分）的上限；@#@的上限；@#@过过x画一条与画一条与y轴平行的直线，轴平行的直线，假定它与区域假定它与区域D的边界曲线的边界曲线（x=a,x=b可以除外可以除外）的交点总是不超过的交点总是不超过两个两个（称这种区域为凸域称这种区域为凸域）.把把二二重重积积分分化化为为累累次次积积分分，其其上上下下限限的的定定法法可可用用如如下下直直观观方方法确定：

@#@法确定：

@#@11/6/202223且与边界曲线交点纵坐标分别为且与边界曲线交点纵坐标分别为y=1（x）和和y=2（x），如果如果2（x）1（x），那么那么1（x）就对就对y积分积分（内积分内积分）的下限的下限，2（x）就是对就是对y积分积分（内积分内积分）的上限的上限.类似地，先积类似地，先积x（内内积分积分）后积后积y（外积分外积分）时时的定限方法如右图所示的定限方法如右图所示.11/6/202224如果区域不属于凸域，把如果区域不属于凸域，把D分成若干个小区域，分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么使每个小区域都属于凸域，那么D上的二重积分就是上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和这些小区域上的二重积分的和.11/6/202225例例1试将二重积分试将二重积分两种不同两种不同次序的累次积分，次序的累次积分，其中其中D是由是由x=a,x=b,y=c,y=d（ab,cd）所围成的矩形区域所围成的矩形区域.解解画出积分区域画出积分区域D如图如图.如果先积如果先积y后积后积x，则有则有如果先积如果先积x后积后积y，则可得则可得11/6/202226例例2试将试将化为两种不同次序的累次化为两种不同次序的累次积分，积分，其中其中D是由是由y=x，y=2-x和和x轴所围成的区域轴所围成的区域.解解首先画出积分区域首先画出积分区域D如图，如图，并求出边界曲线并求出边界曲线的交点的交点（1,1）、（0,0）及及（2,0）.11/6/202227如果先积如果先积x后积后积y，则为则为11/6/202228其中其中D是抛物线是抛物线y2=x与直线与直线y=x-2所围成的区域所围成的区域.例例3计算二重积分计算二重积分解解画出积分区域画出积分区域D如图，如图，并求出边界曲线的交并求出边界曲线的交点点（1,-1）及及（4,2），由图可见，由图可见，先积先积x（内积