易拉罐形状和尺寸的最优设计.doc

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易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘要

本文对销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的雪花啤酒）的易拉罐形状尺寸进行了细致深刻的研究。

第一问中通过对易拉罐的罐高、上盖内径、上盖外径、直径（胖）、除圆台的高、厚度（壁）、上盖厚度、圆台的母线的多次测量，最后取平均值，以此作为原始数据进行研究。

第二问中，从节省材料的角度考虑，假设易拉罐为圆柱体，在易拉罐体积一定的条件下，寻找用料体积最小的方案，我们采用的是把条件极值转化成一元函数无条件极值，用一元函数求极值方法求解。

先考虑壁厚均匀的情况，在此基础上我们考虑壁厚不均匀情况以及上盖折边问题。

最后应用第一问中测得的数据，用以上几种情况得到的理论值和实际测量值进行比较，从而进行分析评价。

结果显示在壁厚均匀的情况得到的结果与实际有一定差距，在壁厚不均匀的情况得到的结果与实际接近，在考虑折边的情况下，得到的结果是，当2.47k〈1时高与半径的比值接近真实值，当2.74k〉1时高与半径的比值偏离真实值。

第三问中，假设易拉罐由两部分组成，上部分是正圆台，下部分是正圆柱体，在这里把材料的厚度看作是均匀的，而且很薄，可忽略不计，所以在体积一定的情况下，找到表面积最小的方案，这里我们运用拉格朗日乘数法及Mathematica软件，得到一组最优解为H=5.5.0546h=2.56319r=1.87827R=4.03432。

（H为正圆柱体的高，h为正圆台的高，r为正圆台上底面积的半径，R为正圆柱体底面半径）

第四问中，我们从无条件约束到有条件约束，最后对我们的最优设计进行一步步解释并综合Mathematica、matlab软件进行绘制图形。

最终得出形状接近现行使用的易拉罐形状才是最合理的设计。

关键词

易拉罐条件极值拉格朗日乘数法最优设计Mathematica、Matlab软件

1、问题重述

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请你们完成以下的任务：

取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？

其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？

其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文（不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文），阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

1.名词和符号的解释

假设易拉罐是一个圆柱体的时候

h为易拉罐高

r为底面圆半径

b为易拉罐的厚度

s为易拉罐的表面积

a是待定参数

v为罐的体积

假设易拉罐上半部分是一个圆台，下半部分是一个正圆柱体的时候

h为圆台的高

H为圆柱体的高

r为圆台上底面的半径

R为圆柱体底面半径

S为易拉罐的表面积

V为易拉罐的体积。

3、模型的假设

由于本题是由五个问题构成的，第五个问题在此忽略不记，在其余四个问题中第一个问提主要是收集数据

1、由一般的方法，令它为一个正圆柱体，在体积为355m不变的前提条件下不考虑其他因素分析这时的直径、半径和高的比值。

然后，考虑将系数k加到模型中去再来分析这时的直径、半径和高的比值，此时，模型升华到特殊情况。

接下来考虑非正圆柱体的情况

2、在第二问中，首先假设易拉罐是一个正圆柱体，第一种情况假设易拉罐的厚度是均匀的，第二种情况中，先假设易拉罐的厚度不相同，在由实际情况知上盖厚度为壁厚的2.74倍，从而假设考虑制造总工艺上必须的折边长度这种情况。

3、第三问中假设易拉罐上半部分是一个正圆台，下半部分是一个正圆柱体，易拉罐的壁厚忽略不计。

4、前三问中统一假设易拉罐的底部是平的。

4、问题分析

本题解决的是实际生活中常见的问题，即设计出理想饮料罐：

在体积一定的情况下，设计出表面积最小的饮料罐。

首先，要实际测量现在市面上买的易拉罐的相关数据，比如高，上盖内径，上盖外径等作为原始数据。

接下来进行最优设计，先从简单入手，首先假设易拉罐的形状为正圆柱体，其次，假设易拉罐分成两部分，上半部分为正圆台体，下半部分为正圆柱体，从这两个方面分别设计出你认为的最优设计。

接下来自己设计易拉罐的形状，分别从几个方面考虑，设计出美观、方便、成本低的饮料罐，最后谈谈设计这个模型的感想。

5、模型的建立和求解

第一问：

首先，我们取雪花啤酒听装355ml的易拉罐进行多次测量得出结果取平均值如下表单位：

毫米

第一次测

第二次测

第三次测

第四次测

第五次测

第六次测

平均值

高

123.14

123.34

123.42

123.26

123.39

123.3

123.3083

上盖内径

54.84

55.96

57.22

56.52

56.93

56.01

56.24667

上盖外径

59.72

59.52

59.34

59.64

59.47

59.55

59.54

直径（胖）

66.02

65.86

65.94

65.97

65.9

66.08

65.96167

除圆台的高

109.52

109.82

110

109.66

109.74

109.8

109.7567

厚度（壁）

0.16

0.17

0.17

0.15

0.15

0.16

0.16

上盖厚度

0.42

0.46

0.39

0.48

0.45

0.44

0.44

圆台的母线

　14.52

13.82

13.58

14.04

14.5

13.98

14.07333

以次作为今后解题的基本数据。

第二问：

设易拉罐是一个正圆柱体。

且厚度相同都为b.

易拉罐所用材料侧面所用材料的体积为

易拉罐顶盖、底部所用的材料体积为

所以,SV为

因为,所以带的项可以忽略

因此

由于

求r使得最小

求临界点:

令其导数为零得

解得临界点为,

易得同上

由一问中实际测量数据可的得：

即

可以看出以上两种情况得到的易拉罐的高与底面半径的比的结果与实际的比值相差很多，影响这个差距的因素很多，例如厚度，前面我们的研究中把厚度考虑成是均匀的，但实际上易拉罐的壁厚是不均匀的。

用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬（厚,因为要使劲拉）,假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同,记作,顶盖的厚度为.想象一下,硬度体现在同样材料的厚度上（有人测量过,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍）.因此,我们可以进行如下的数学建模.这时必须考虑所用材料的体积.

（图一）

明确变量和参数：

设饮料罐的半径为r（因此，直径为d=2r）,罐的高为h.罐内体积为V.b为除顶盖外的材料的厚度.其中r,h是自变量,所用材料的体积SV是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数.

饮料罐侧面所用材料的体积为

饮料罐顶盖所用材料的体积为

饮料罐底部所用材料的体积为

所以,SV和V分别为,

因为b<

（极其重要的合理假设或简化）.因此

记

于是我们可以建立以下的数学模型：

其中S是目标函数，是约束条件,V是已知的（即罐内体积一定）,即要在体积一定的条件下,求罐的表面积最小，这是一个求条件极值的问题.

模型的求解：

解法（从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题）

从解出,代入S,使原问题化为：

求d:

h使S最小,即,求r使

最小.

求临界点:

令其导数为零得

解得临界点为,

因此

测量数据为h/r=3.74,即,即顶盖的厚度是其他材料厚度的2.74倍.

b-----制罐铝材的厚度。

k-----制造中工艺上必须的折边长度。

在这里得到值与实际值很相近，这说明对易拉罐壁厚不均匀的考虑是必要的，这个因素对最优值的影响是显著的。

下面把折边这个因素考虑进去，看得到的高与底面半径的比值与实际的有多大差异。

考虑K时

制罐用材的总体积为（K为常数）

由于