第六节：用正交变换化二次型为标准型PPT资料.ppt

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就是：

对于于对称称阵A寻求可逆矩求可逆矩阵C使得：

使得：

为对角角阵。

这个个问题称称为把把对称称阵A合同合同对角化角化成为对角阵成为对角阵。

由上由上节定理定理5。

8知，任知，任给对称称阵A总有正交阵总有正交阵P，使，使。

把此把此结论应用于二次型，即有用于二次型，即有定理定理5.9任任给二次型二次型使之化使之化为标准形准形其中其中推推论任任给n元二次型元二次型使使为规范形。

范形。

总有总有正交变换是是f的矩阵的矩阵A的特征值的特征值总有正交变换总有正交变换用用正交正交变换化二次型次型为标准形的步准形的步骤为：

（1）.写出写出f对应的实对称矩阵对应的实对称矩阵A

（2）.寻找正交矩找正交矩阵P，；

（3）.则正交正交变换使使。

例例5.5.1求一个求一个正交变换把二次型把二次型化化为标准形。

准形。

解：

二次型的矩二次型的矩阵为这与例与例5.4.1所所给矩矩阵相同。

按例相同。

按例5.4.1的的结果，有正交果，有正交阵使使，于是有于是有正正交交变换，把二次型把二次型f化成标准形如果要把二次型化成如果要把二次型化成规范形只需令：

范形只需令：

则得得f的规范形为的规范形为：

例例5.5.2用用正交正交变换将二次型将二次型化化为标准形若准形若设，问该曲面曲面为何种何种类型的曲面型的曲面.解：

二次型的矩二次型的矩阵为得得A的特征的特征值为：

当当求解求解因因为它它们已正交，故只需已正交，故只需单位化位化为。

，得两个线性无关的特征向量为得两个线性无关的特征向量为当当求解求解得一个解得一个解单位化得位化得所求正交矩所求正交矩阵正交正交变换为化化f为标准形准形显然，由解析几何知道，然，由解析几何知道，这是是一个一个单叶双曲面方程。

叶双曲面方程。

注注:

如果要画出上述曲面的几何如果要画出上述曲面的几何图形，则要求出相应的坐标旋图形，则要求出相应的坐标旋转变换，请参考有关空间解析转变换，请参考有关空间解析几何关于坐标轴旋转的有关结几何关于坐标轴旋转的有关结论。

论。