信号与系统教案第3章西安电子科技大学PPT格式课件下载.ppt

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信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-3页电子教案电子教案3.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应

（1）一阶前向差分定义一阶前向差分定义：

f（k）=f（k+1）f（k）

（2）一阶后向差分定义一阶后向差分定义：

f（k）=f（k）f（k1）式中，式中，和和称为差分算子，无原则区别。

本书主要用称为差分算子，无原则区别。

本书主要用后向差分，简称为后向差分，简称为差分差分。

（3）差分的线性性质差分的线性性质：

af1（k）+bf2（k）=af1（k）+bf2（k）（4）二阶差分定义二阶差分定义：

2f（k）=f（k）=f（k）f（k-1）=f（k）f（k-1）=f（k）f（k-1）f（k-1）f（k-2）=f（k）2f（k-1）+f（k-2）（5）mm阶差分阶差分:

mf（k）=f（k）+b1f（k-1）+bmf（k-m）因此，可定义：

因此，可定义：

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-4页电子教案电子教案3.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应2.差分方程差分方程包含未知序列包含未知序列y（k）及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。

将。

将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式，得一般形式y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=bmf（k）+b0f（k-m）差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。

件和激励，利用迭代法可求得其数值解。

例例：

若描述某系统的差分方程为：

若描述某系统的差分方程为y（k）+3y（k1）+2y（k2）=f（k）已知初始条件已知初始条件y（0）=0,y

（1）=2,激励激励f（k）=2k（k）,求求y（k）。

解解：

y（k）=3y（k1）2y（k2）+f（k）y

（2）=3y

（1）2y（0）+f

（2）=2y（3）=3y

（2）2y

（1）+f（3）=10一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的（闭合闭合）解。

解。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-5页电子教案电子教案3.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=bmf（k）+b0f（k-m）与微分方程经典解类似，与微分方程经典解类似，y（k）=yh（k）+yp（k）1.齐次解齐次解yh（k）齐次方程齐次方程y（k）+an-1y（k-1）+a0y（k-n）=0其其特征方程特征方程为为1+an-11+a0n=0，即即n+an-1n1+a0=0其根其根i（i=1，2，n）称为差分方程的称为差分方程的特征根特征根。

齐次解的形式取决于特征根齐次解的形式取决于特征根。

当特征根当特征根为为单根单根时，齐次解时，齐次解yn（k）形式为：

形式为：

Ck当特征根当特征根为为r重根重根时，齐次解时，齐次解yn（k）形式为：

（Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+C1k+C0）k信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-6页电子教案电子教案3.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应2.特解特解yp（k）:

特解的形式与激励的形式雷同特解的形式与激励的形式雷同（r1）。

（1）激励激励f（k）=km（m0）所有特征根均不等于所有特征根均不等于1时时;

yp（k）=Pmkm+P1k+P0有有r重等于重等于1的特征根时的特征根时;

yp（k）=krPmkm+P1k+P0

（2）激励激励f（k）=ak当当a不等于特征根时不等于特征根时;

yp（k）=Pak当当a是是r重特征根时重特征根时;

yp（k）=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0）ak（3）激励激励f（k）=cos（k）或或sin（k）且且所有特征根均不等所有特征根均不等于于ej；

yp（k）=Pcos（k）+Qsin（k）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-7页电子教案电子教案例例：

若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为y（k）+4y（k1）+4y（k2）=f（k）已知初始条件已知初始条件y（0）=0，y

（1）=1；

激励激励f（k）=2k，k0。

求方程的全解。

特征方程为特征方程为2+4+4=0可解得特征根可解得特征根1=2=2，其齐次解其齐次解yh（k）=（C1k+C2）

（2）k特解为特解为yp（k）=P

（2）k,k0代入差分方程得代入差分方程得P

（2）k+4P

（2）k1+4P

（2）k2=f（k）=2k，解得解得P=1/4所以得特解：

所以得特解：

yp（k）=2k2,k0故全解为故全解为y（k）=yh+yp=（C1k+C2）

（2）k+2k2,k0代入初始条件解得代入初始条件解得C1=1,C2=1/43.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-8页电子教案电子教案3.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应y（k）=yx（k）+yf（k）,也可以也可以分别分别用经典法求解。

用经典法求解。

y（j）=yx（j）+yf（j）,j=0,1,2,n1设设激励激励f（k）在在k=0时接入系统时接入系统，通常以通常以y

（1）,y

（2）,，y（n）描述系统的描述系统的初始状态初始状态。

yf

（1）=yf

（2）=yf（n）=0所所以以y

（1）=yx

（1）,y

（2）=yx

（2）,，y（n）=yx（n）然然后后利利用用迭迭代代法法分分别别求求得得零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响应应的的初始值初始值yx（j）和和yf（j）（j=0,1,2,，n1）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-9页电子教案电子教案3.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应例例：

若描述某离散系统的差分方程为：

若描述某离散系统的差分方程为y（k）+3y（k1）+2y（k2）=f（k）已已知知激激励励f（k）=2k,k0，初初始始状状态态y

（1）=0,y

（2）=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

（：

（1）yx（k）满足方程满足方程yx（k）+3yx（k1）+2yx（k2）=0其初始状态其初始状态yx

（1）=y

（1）=0,yx

（2）=y

（2）=1/2首先递推求出初始值首先递推求出初始值yx（0）,yx

（1）,yx（k）=3yx（k1）2yx（k2）yx（0）=3yx

（1）2yx

（2）=1,yx

（1）=3yx（0）2yx

（1）=3方程的特征根为方程的特征根为1=1，2=2，其解为其解为yx（k）=Cx1

（1）k+Cx2

（2）k将初始值代入将初始值代入并解得并解得Cx1=1,Cx2=2所以所以yx（k）=

（1）k2

（2）k,k0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-10页电子教案电子教案3.13.1LTILTI离散系统的响应离散系统的响应yf（k）+3yf（k1）+2yf（k2）=f（k）初始状态初始状态yf

（1）=yf

（2）=0递推求初始值递推求初始值yf（0）,yf

（1），yf（k）=3yf（k1）2yf（k2）+2k,k0yf（0）=3yf

（1）2yf

（2）+1=1yf

（1）=3yf（0）2yf

（1）+2=1分别求出齐次解和特解分别求出齐次解和特解，得，得yf（k）=Cf1

（1）k+Cf2

（2）k+yp（k）=Cf1

（1）k+Cf2

（2）k+（1/3）2k代入初始值代入初始值求得求得Cf1=1/3,Cf2=1所以所以yf（k）=

（1）k/3+

（2）k+（1/3）2k,k0

（2）零状态响应零状态响应yf（k）满足满足信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-11页电子教案电子教案3.23.2单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应3.23.2单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应一、单位序列响应由单位序列由单位序列（k）所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位序列单位序列响应响应或或单位样值响应单位样值响应或或单位取样响应单位取样响应，或简称，或简称单位响应单位响应，记为记为h（k）。

h（k）=T0,（k）例例1已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为y（k）-y（k-1）-2y（k-2）=f（k）求单位序列响应求单位序列响应h（k）。

解解根据根据h（k）的定义的定义有有h（k）h（k1）2h（k2）=（k）

（1）h

（1）=h

（2）=0

（1）递推求初始值递推求初始值h（0）和和h

（1）。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-12页电子教案电子教案3.23.2单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应h（k）=h（k1）+2h（k2）+（k）h（0）=h

（1）+2h

（2）+（0）=1h

（1）=h（0）+2h

（1）+

（1）=1

（2）求求h（k）。

对于对于k0，h（k）满足齐次方程满足齐次方程h（k）h（k1）2h（k2）=0其特征方程为其特征方程为（+1）

（2）=0所以所以h（k）=C1

（1）k+C2

（2）k，k0h（0）=C1+C2=1,h

（1）=C1+2C2=1解得解得C1=1/3,C2=2/3h（k）=（1/3）

（1）k+（2/3）

（2）k,k0或写为或写为h（k）=（1/3）

（1）k+（2/3）

（2）k（k）方程（方程

（1）移项写为）移项写为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-13页电子教案电子教案3.23.2单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应例例2：

若方程为：

y（k）y（k1）2y（k2）=f（k）f（k2）求单位序列响应求单位序列响应h（k）解解h（k）满足满足h（k）h（k1）2h（k2）=（k）（k2）令只有令只有（k）作用时，系统的单位序列响应作用时，系统的单位序列响应