垂直于弦的直径课件PPT文件格式下载.ppt

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求证：

。

AEBE，ACBC，ADBD。

C.OAEBD叠叠合合法法证明：

连结证明：

连结OA、OB，则，则OAOB。

因为垂直于弦因为垂直于弦AB的直径的直径CD所在的所在的直线既是等腰三角形直线既是等腰三角形OAB的对称轴的对称轴又是又是O的对称轴。

所以，当把圆沿的对称轴。

所以，当把圆沿着直径着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合。

因此重合。

因此AEBE，ACBC，ADBD1.在在O中，若中，若CDAB于于M，AB为直为直径，则下列结论不正确的是（径，则下列结论不正确的是（）2.已知已知O的直径的直径AB=10，弦，弦CDAB，垂，垂足为足为M，OM=3，则，则CD=.3.在在O中，中，CDAB于于M，AB为直径，若为直径，若CD=10，AM=1，则，则O的半径是的半径是.OCDABMCA、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM813注意：

注意：

解决有关弦的问题时解决有关弦的问题时,半径是常用的一种半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。

辅助线的添法往往结合勾股定理计算。

垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

且平分弦所对的两条弧。

题设题设结论结论

（1）过圆心）过圆心

（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧推论（推论

（1）

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧弦，并且平分弦所对和的另一条弧根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。

如果具备圆和一条直线来说。

如果具备

（1）过圆心）过圆心

（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论注意注意判断判断

（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.（）

（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.（）（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.（）（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧（）（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）例例1如图，已知在如图，已知在O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求O的的半径。

半径。

解：

连结解：

连结OA。

过。

过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。

AB8厘米厘米AE4厘米厘米在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米O的半径为的半径为5厘米。

厘米。

.AEBO讲解讲解例：

已知：

在例：

在O中，中，AC,AB为互相垂直的两条相为互相垂直的两条相等的弦，等的弦，ODAB,OEAC求证：

四边形求证：

四边形ADOE为为正方形。

正方形。

ADBCOE例例1如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中即图中，点点o是是的圆的圆心心），其中，其中CD=600m,E为为上一点，上一点，且且OECD，垂足为，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。

求这段弯路的半径。

CDCDCDCDEFO例例2已知：

如图，在以已知：

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。

两点。

ACBD。

证明：

过证明：

过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。

AECEBEDE。

所以，所以，ACBDE.ACDBO讲解讲解例例3已知：

O中弦中弦ABCD。

ACBD证明：

作直径证明：

作直径MNAB。

ABCD，MNCD。

则。

则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON讲解讲解6.已知：

如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。

你认为你认为AC和和BD有什么关系？

为什么？

有什么关系？

AECEBEDE即即ACBD.ACDBOE5.5.在半径为在半径为3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则OO到到ABAB的距离是的距离是=，OABOAB的余弦值的余弦值=。

OABP0.624mm注意：

解决有关弦的问题，过圆心作注意：

解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法学生练习学生练习已知：

AB是是O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：

ECDF.AOBECDF变式变式.已知：

如图，线段已知：

如图，线段AB与与O交于交于C、D两点，且两点，且OA=OB求证：

AC=BDBOACD证明圆中与弦有关证明圆中与弦有关的线段相等时的线段相等时,常借常借助垂径定理助垂径定理,利用其利用其平分弦的性质来解平分弦的性质来解决问题决问题.Mn例例2.2.如图是一条排水管的截面。

已知排如图是一条排水管的截面。

已知排水管的半径水管的半径10cm，水面宽，水面宽AB=12cm。

求水的最大深度求水的最大深度.ED求圆中有关线段的长度时求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定常借助垂径定理转化为直角三角形理转化为直角三角形,从而利用勾股定理从而利用勾股定理来解决问题来解决问题.BAO试一试试一试P931515驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我画一画画一画n4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGH1.本节课我们主要学习了本节课我们主要学习了圆的轴对称性圆的轴对称性和和垂径定理垂径定理垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧2.垂径定理的证明，是通过垂径定理的证明，是通过“实验实验观察观察猜想猜想证明证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法想方法3.有关弦的问题，常常需要有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是，这是一条非常重要的一条非常重要的辅助线辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长圆心到弦的距离、半径、弦长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题，便将问题转化为解直角三角形的问题课堂小结课堂小结1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线。

经过圆心的每一条直线。

2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧。

、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧。

CD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACBCD过圆心过圆心CDABCDBAO3、在、在O中，若中，若O的半径的半径r、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中，任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据垂径垂径定理求出第三个量：

定理求出第三个量：

你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗？

它是？

它是1300多年前我多年前我国隋代建造的石拱桥，国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。

它的与智慧的结晶。

它的主桥拱是圆弧形，它主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的跨度（弧所对的弦的长）为的长）为37.4米，拱米，拱高（弧的中点到弦的高（弧的中点到弦的距离）为距离）为7.2米，你能米，你能求出赵州桥主桥拱的求出赵州桥主桥拱的半径吗？

半径吗？

ABCDOR现在大家就来解决赵州桥主桥拱半径的问题现在大家就来解决赵州桥主桥拱半径的问题如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为R。

经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB相交与点相交与点C，根据前面的结论，根据前面的结论，D是是AB的中点，的中点，C是是AB的中点，的中点，CD就是拱高。

就是拱高。