差分方程求解_精品文档PPT推荐.ppt

差分方程求解_精品文档PPT推荐.ppt

《差分方程求解_精品文档PPT推荐.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《差分方程求解_精品文档PPT推荐.ppt（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第八节差分方程,一、差分,二、差分方程的概念,三、一阶常系数线性差分方程,四、二阶常系数线性差分方程,一、差分,微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t取值为0,1,2,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.,定义1设函数y=f（x）,记为yx,则差,yx+1yx,称为函数yx的一阶差分,记为yx,即,yx=yx+1yx.,（yx）=yx+1yx=（yx+2yx+1）（yx+1yx）,=yx+22yx+1+yx,为二阶差分,记为2yx,即,3yx=（2yx）,同样可定义三阶差分3yx,四阶差分4yx,即,4yx=（3yx）.,2yx=（yx）=yx+22yx+1+yx,例1求（x3）,2（x3）,3（x3）,4（x3）.,解（x3）=（x+1）3x3=3x2+3x+1,2（x3）=（3x2+3x+1）,=3（x+1）2+3（x+1）+1（3x2+3x+1）,=6x+6,3（x3）=（6x+6）=6（x+1）+6（6x+6）,=6,4（x3）=（6）6=0.,二、差分方程的概念,定义2含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程.,差分方程的一般形式为,F（x,yx,yx,nyx）=0.

（1）,差分方程中可以不含自变量x和未知函数yx,但必须含有差分.,式

（1）中,当n=1时,称为一阶差分方程；@#@当n=2时,称为二阶差分方程.,例2将差分方程,2yx+2yx=0,表示成不含差分的形式.,解yx=yx+1yx,2yx=yx+2yx+1+yx,代入得,yx+2yx=0.,由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.,定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程.,其一般形式为,G（x,yx,yx+1,yx+n）=0.

（2）,定义3中要求x,yx,yx+1,yx+n不少于两个.,例如,yx+2+yx+1=0为差分方程,yx=x不是差分方程.,差分方程式

（2）中,未知函数下标的最大差数为n,则称差分方程为n阶差分方程.,定义4如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.,例3验证函数yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.,解yx+1=2（x+1）+1=2x+3,yx+1yx=2x+3（2x+1）=2,所以yx=2x+1是差分方程yx+1yx=2的解.,定义5差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通,解.,三、一阶常系数线性差分方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,yx+1ayx=f（x）.（3）,其中a为不等于零的常数.,称为齐次差分方程;@#@当f（x）0时,称为非齐次差分方程.,当f（x）=0时,即,yx+1ayx=0（4）,先求齐次差分方程yx+1ayx=0的解,设y0已知,代入方程可知,y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令y0=C,则得齐次差分方程的通解为,yx=Cax.（5）,例4求差分方程yx+1+2yx=0的通解.,解这里a=2,由公式（5）得,通解为,yx=C

（2）x.,定理设y0*是非齐次差分方程（3）对应的齐次差分方程（4）的通解,再讨论非齐次差分方程yx+1ayx=f（x）解的结构,是（3）的一个特解,则,程（3）的通解.,是方,下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.,

（1）令f（x）=b0+b1x+bmxm,设特解的待定式为,或,（6）,（7）,其中B0,B1,Bm为待定系数.,例5求差分方程yx+12yx=3x2的一个特解.,解这里a=2,设,代入差分方程,得,B0+B1（x+1）+B2（x+1）22（B0+B1x+B2x2）=3x2.,整理,得,（B0+B1+B2）+（B1+2B2）xB2x2=3x2.,比较系数,得,B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.,解出B0=9,B1=6,B2=3,故所求特解为,例6求差分方程yx+1yx=x+1的通解.,解对应的齐次方程yx+1yx=0的通解为,这里a=1,设,（x+1）B0+B1（x+1）x（B0+B1x）=x+1.,整理,得,2B1x+B0+B1=x+1.,比较系数,得,2B1=1,B0+B1=1,解出,故所求通解为,代入差分方程,得,

（2）f（x）=Cbx,设特解的待定式为,或,（8）,（9）,其中k为待定系数.,例7求差分方程的通解.,解对应的齐次方程,的通解为,因为,故可设特解为,则,解出,则所求通解为,四、二阶常系数线性差分方程,形如,yx+2+ayx+1+byx=f（x）.（10）,（其中a,b0,且均为常数）的方程,称为二阶常系数线性差分方程.,称为齐次差分方程;@#@当f（x）0时,称为非齐次差分方程.,当f（x）=0时,即,yx+2+ayx+1+byx=0（11）,类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构.故先求齐次方程（11）的通解.,当为常数时,yx=x和它的各阶差商有倍数关系,所以可设yx=x为方程（11）的解.,代如方程（11）得,x+2+ax+1+bx=0,方程（12）称为齐次差分方程（11）的特征方程.,特征方程的解,两个不相等的实根1,2,一对共轭复根1,2=i,两个相等实根1=2,x+2+ax+1+bx=0的通解,2+a+b=0,（12）,由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：

@#@,例8求差分方程yx+27yx+1+6yx=0的通解.,解特征方程为,方程的根为1=1,2=6.,27+6=0.,原方程的通解为,yx=C1+C26x.,例9求差分方程yx+24yx+1+16yx=0满足条件y0=0,y1=1的特解.,解特征方程为,方程的根为,24+16=0.,原方程的通解为,代入初始条件y0=0,y1=1得,解出,故所求特解为,

（1）f（x）=b0+b1x+bmxm,根据非齐次差分方程yx+2+ayx+1+byx=f（x）的函数f（x）的形式,用待定系数法可求出一个特解.,设特解的待定式为,其中B0,B1,Bm为待定系数.,例10求差分方程yx+2+yx+12yx=12x的通解.,解对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为1=2,2=1,2+2=0.,齐次方程的通解为,因为a=1,b=2,1+a+b=0,但a+2=30,所以,设非齐次方程的一个特解为,代入原方程,得,整理,得,B0+B1（x+2）（x+2）+B0+B1（x+1）（x+1）（B0+B1x）x=12x.,比较系数,得,6B1=12,3B0+5B1=0,解出,故所求通解为,6B1x+3B0+5B1=12x.,

（2）f（x）=Cqx,设特解的待定式为,其中B为待定系数.,（q不是特征根）;@#@,（q是特征方程单根）;@#@,（q是二重特征根）.,例11求差分方程yx+23yx+1+2yx=2x的一个特解.,解对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为1=1,2=2,23+2=0.,因为q=2=2,设特解为,代入原方程,得,B（x+2）2x+23B（x+1）2x+1+2Bx2x=2x,所求特解为,