差分方程求解_精品文档PPT推荐.ppt

1、第八节 差分方程,一、差分,二、差分方程的概念,三、一阶常系数线性差分方程,四、二阶常系数线性差分方程,一、差分,微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量 t 取值为0,1,2,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.,定义1 设函数 y=f（x）,记为 yx,则差,yx+1 yx,称为函数 yx 的一阶差分,记为yx,即,yx=yx+1 yx.,（yx）=yx+1 yx=（yx+2 yx+1）（yx+1 yx）,=yx+2 2 yx+1+yx,为二阶差分,记为2 yx,即,3y

2、x=（2yx）,同样可定义三阶差分3yx,四阶差分4yx,即,4yx=（3yx）.,2 yx=（yx）=yx+2 2 yx+1+yx,例1 求（x3）,2（x3）,3（x3）,4（x3）.,解（x3）=（x+1）3 x3=3x2+3x+1,2（x3）=（3x2+3x+1）,=3（x+1）2+3（x+1）+1（3x2+3x+1）,=6x+6,3（x3）=（6x+6）=6（x+1）+6（6x+6）,=6,4（x3）=（6）6=0.,二、差分方程的概念,定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程.,差分方程的一般形式为,F（x,yx,yx,n yx）=0.（1）,差分方程中可以不含自变

3、量 x 和未知函数 yx,但必须含有差分.,式（1）中,当 n=1时,称为一阶差分方程；#当n=2时,称为二阶差分方程.,例2 将差分方程,2yx+2yx=0,表示成不含差分的形式.,解 yx=yx+1 yx,2yx=yx+2 yx+1+yx,代入得,yx+2 yx=0.,由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.,定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程.,其一般形式为,G（x,yx,yx+1,yx+n）=0.（2）,定义3中要求 x,yx,yx+1,yx+n不少于两个.,例如,yx+2+yx+1=0为差分方程,yx=x不是差分方程.,差分方程式（2）中,

4、未知函数下标的最大差数为 n,则称差分方程为n 阶差分方程.,定义4 如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.,例3 验证函数 yx=2x+1是差分方程 yx+1 yx=2的解.,解 yx+1=2（x+1）+1=2x+3,yx+1 yx=2x+3（2x+1）=2,所以yx=2x+1是差分方程 yx+1 yx=2的解.,定义5 差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通,解.,三、一阶常系数线性差分方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,yx+1 ayx=f（x）.（3）,其中 a 为不等于零的常数.,称为齐次差分方程;

5、#当 f（x）0时,称为非齐次差分方程.,当 f（x）=0 时,即,yx+1 ayx=0（4）,先求齐次差分方程 yx+1 ayx=0的解,设 y0 已知,代入方程可知,y1=ay0,y2=a2y0,yx=axy0,令y0=C,则得齐次差分方程的通解为,yx=Cax.（5）,例4 求差分方程 yx+1+2yx=0的通解.,解 这里 a=2,由公式（5）得,通解为,yx=C（2）x.,定理 设 y0*是非齐次差分方程（3）对应的齐次差分方程（4）的通解,再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx=f（x）解的结构,是（3）的一个特解,则,程（3）的通解.,是方,下面用待定系数法来求两种类型函数的特解

6、.,（1）令f（x）=b0+b1x+bmxm,设特解的待定式为,或,（6）,（7）,其中B0,B1,Bm为待定系数.,例5 求差分方程 yx+1 2yx=3x2 的一个特解.,解 这里 a=2,设,代入差分方程,得,B0+B1（x+1）+B2（x+1）2 2（B0+B1x+B2x2）=3x2.,整理,得,（B0+B1+B2）+（B1+2B2）xB2x2=3x2.,比较系数,得,B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.,解出 B0=9,B1=6,B2=3,故所求特解为,例6 求差分方程 yx+1 yx=x+1 的通解.,解 对应的齐次方程 yx+1 yx=0的通解为,这里 a=1,设,

7、（x+1）B0+B1（x+1）x（B0+B1x）=x+1.,整理,得,2B1 x+B0+B1=x+1.,比较系数,得,2B1=1,B0+B1=1,解出,故所求通解为,代入差分方程,得,（2）f（x）=Cbx,设特解的待定式为,或,（8）,（9）,其中 k 为待定系数.,例7 求差分方程 的通解.,解 对应的齐次方程,的通解为,因为,故可设特解为,则,解出,则所求通解为,四、二阶常系数线性差分方程,形如,yx+2+ayx+1+byx=f（x）.（10）,（其中 a,b 0,且均为常数）的方程,称为二阶常系数线性差分方程.,称为齐次差分方程;#当 f（x）0时,称为非齐次差分方程.,当 f（x）=

8、0 时,即,yx+2+ayx+1+byx=0（11）,类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构.故先求齐次方程（11）的通解.,当 为常数时,yx=x和它的各阶差商有倍数关系,所以可设 yx=x为方程（11）的解.,代如方程（11）得,x+2+ax+1+bx=0,方程（12）称为齐次差分方程（11）的特征方程.,特征方程的解,两个不相等的实根 1,2,一对共轭复根 1,2=i,两个相等实根 1=2,x+2+ax+1+bx=0的通解,2+a+b=0,（12）,由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：#,例8 求差分方程 yx+2 7yx+1+6yx=0的通解.,解 特征方程

9、为,方程的根为 1=1,2=6.,2 7+6=0.,原方程的通解为,yx=C1+C26x.,例9 求差分方程 yx+2 4yx+1+16yx=0满足条件y0=0,y1=1的特解.,解 特征方程为,方程的根为,2 4+16=0.,原方程的通解为,代入初始条件 y0=0,y1=1得,解出,故所求特解为,（1）f（x）=b0+b1x+bmxm,根据非齐次差分方程 yx+2+ayx+1+byx=f（x）的函数 f（x）的形式,用待定系数法可求出一个特解.,设特解的待定式为,其中B0,B1,Bm为待定系数.,例10 求差分方程 yx+2+yx+1 2yx=12x的通解.,解 对应的齐次方程的特征方程为,

10、方程的根为 1=2,2=1,2+2=0.,齐次方程的通解为,因为 a=1,b=2,1+a+b=0,但 a+2=3 0,所以,设非齐次方程的一个特解为,代入原方程,得,整理,得,B0+B1（x+2）（x+2）+B0+B1（x+1）（x+1）（B0+B1x）x=12x.,比较系数,得,6B1=12,3B0+5B1=0,解出,故所求通解为,6B1x+3B0+5B1=12x.,（2）f（x）=Cqx,设特解的待定式为,其中 B 为待定系数.,（q不是特征根）;#,（q是特征方程单根）;#,（q是二重特征根）.,例11 求差分方程 yx+2 3yx+1+2yx=2x的一个特解.,解 对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为 1=1,2=2,2 3+2=0.,因为 q=2=2,设特解为,代入原方程,得,B（x+2）2x+23B（x+1）2x+1+2Bx2x=2x,所求特解为,