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以前解决最优化问题的数学方法只限于古典以前解决最优化问题的数学方法只限于古典求导方法和变分法（求求导方法和变分法（求无约束极值无约束极值问题），拉格问题），拉格朗日（朗日（LagrangeLagrange）乘数法解决等式约束下的条件）乘数法解决等式约束下的条件极值问题。

极值问题。

计算机技术的出现，使得数学家研究出了许计算机技术的出现，使得数学家研究出了许多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问题。

题。

2022/11/1数学建模几个概念几个概念最优化最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种以是从所有可能方案中选择最合理的一种以达到最优目标的学科。

达到最优目标的学科。

最优方案最优方案是达到最优目标的方案。

是达到最优目标的方案。

最优化方法最优化方法是搜寻最优方案的方法。

是搜寻最优方案的方法。

最优化理论最优化理论就是最优化方法的理论。

就是最优化方法的理论。

2022/11/1数学建模经典极值问题经典极值问题包括：

包括：

无约束极值问题无约束极值问题约束条件下的极值问题约束条件下的极值问题2022/11/1数学建模11、无约束极值问题的数学模型、无约束极值问题的数学模型22、约束条件下极值问题的数学模型、约束条件下极值问题的数学模型其中，极大值问题可以转化为极小值问题来其中，极大值问题可以转化为极小值问题来进行求解。

如求：

进行求解。

可以转化为：

2022/11/1数学建模11、无约束极值问题的求解、无约束极值问题的求解例例1：

求求函函数数y=2x3+3x2-12x+14在在区区间间-3,4上上的的最最大值与最小值。

大值与最小值。

解：

令解：

令f（x）=y=2x3+3x2-12x+14f（x）=6x2+6x-12=6（x+2）（x-1）解方程解方程f（x）=0，得到，得到x1=-2，x2=1，又，又由于由于f（-3）=23，f（-2）=34，f

（1）=7，f（4）=142，综上得，综上得，函函数数f（x）在在x=4取取得得在在-3,4上上得得最最大大值值f（4）=142，在在x=1处取得在处取得在-3,4上取得最小值上取得最小值f

（1）=72022/11/1数学建模2022/11/1数学建模用用MATLAB解无约束优化问题解无约束优化问题其中等式（其中等式（3）、（）、（4）、（）、（5）的右边可选用（）的右边可选用

（1）或（）或

（2）的等式右边的等式右边.函数函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是目标函数必须是连续函数连续函数，并可能只给出局部最优解，并可能只给出局部最优解.常用格式如下：

常用格式如下：

（1）x=fminbnd（fun,x1,x2）

（2）x=fminbnd（fun,x1,x2，options）（3）x，fval=fminbnd（）（4）x，fval，exitflag=fminbnd（）（5）x，fval，exitflag，output=fminbnd（）2022/11/1数学建模主程序为主程序为:

f=2*exp（-x）.*sin（x）;

fplot（f,0,8）;

%作图语句作图语句xmin,ymin=fminbnd（f,0,8）f1=-2*exp（-x）.*sin（x）;

xmax,ymax=fminbnd（f1,0,8）2022/11/1数学建模例例2有边长为有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

解解先编写先编写M文件如下文件如下:

functionf=fun0（x）f=-（3-2*x）.2*x;

主程序为主程序为x,fval=fminbnd（fun0,0,1.5）;

xmax=xfmax=-fval运算结果为运算结果为:

xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边即剪掉的正方形的边长为长为0.5m时水槽的容积最大时水槽的容积最大,最大容积为最大容积为2m3.2022/11/1数学建模命令格式为命令格式为:

（1）x=fminunc（fun,X0）；

或）；

或x=fminsearch（fun,X0）

（2）x=fminunc（fun,X0，options）；

）；

或或x=fminsearch（fun,X0，options）（3）x，fval=fminunc（.）；

或或x，fval=fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag=fminunc（.）；

或或x，fval，exitflag=fminsearch（5）x，fval，exitflag，output=fminunc（.）；

或或x，fval，exitflag，output=fminsearch（.）2.多元函数无约束优化问题多元函数无约束优化问题标准型为：

标准型为：

min2022/11/1数学建模例例用用fminsearch函数求解函数求解输入命令输入命令:

f=100*（x

（2）-x

（1）2）2+（1-x

（1）2;

x,fval,exitflag,output=fminsearch（f,-1.22）运行结果运行结果:

x=1.00001.0000fval=1.9151e-010exitflag=1output=iterations:

108funcCount:

202algorthm:

Nelder-Meadsimplexdirectsearch2022/11/1数学建模有约束最优化有约束最优化最优化方法分类最优化方法分类（一一）线线性性最最优优化化：

目目标标函函数数和和约约束束条条件件都都是是线线性的则称为线性最优化。

性的则称为线性最优化。

非非线线性性最最优优化化：

目目标标函函数数和和约约束束条条件件如如果果含含有非线性的，则称为非线性最优化。

有非线性的，则称为非线性最优化。

（二二）静静态态最最优优化化：

如如果果可可能能的的方方案案与与时时间间无无关关，则是静态最优化问题。

则是静态最优化问题。

动态最优化动态最优化：

如果可能的方案与时间有关，如果可能的方案与时间有关，则是动态最优化问题则是动态最优化问题2022/11/1数学建模有约束最优化问题的数学建模有约束最优化问题的数学建模有约束最优化模型一般具有以下形式：

有约束最优化模型一般具有以下形式：

或或其中其中f（x）为目标函数，省略号表示约束式子，可以是为目标函数，省略号表示约束式子，可以是等式约束，也可以是不等式约束。

等式约束，也可以是不等式约束。

2022/11/1数学建模根根据据目目标标函函数数，约约束束条条件件的的特特点点将将最最优优化方法包含的主要内容大致如下划分：

化方法包含的主要内容大致如下划分：

线性规划线性规划整数规划整数规划非线性规划非线性规划动态规划动态规划多目标规划多目标规划最优化方法主要内容最优化方法主要内容2022/11/1数学建模两个引例两个引例问题一问题一：

某工厂在计划期内要安排生产：

某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的两种原材料的消耗，如下表所示消耗，如下表所示12kg40原材料原材料B16kg04原材料原材料A8台时台时21设备设备III该工厂每生产一件产品该工厂每生产一件产品I可获利可获利2元，每生产一件产品元，每生产一件产品II可获利可获利3元。

问应如何安排计划使该工厂获利最多？

元。

2022/11/1数学建模解解：

该工厂生产产品：

该工厂生产产品Ix1件，生产产品件，生产产品IIx2件，件，我们可建立如下数学模型：

我们可建立如下数学模型：

s.t.2022/11/1数学建模问题二问题二：

某厂每日某厂每日8小时的产量不低于小时的产量不低于1800件件.为了进行质量为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为：

一级检验员的标准为：

速度速度25件件/小时，正确率小时，正确率98%，计时工资，计时工资4元元/小时；

二级检验员小时；

二级检验员的标准为：

速度的标准为：

速度15件件/小时，正确率小时，正确率95%，计时工资，计时工资3元元/小时小时.检检验员每错检一次，工厂要损失验员每错检一次，工厂要损失2元元.为使总检验费用最省，该工为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？

厂应聘一级、二级检验员各几名？

解解设需要一级和二级检验员的人数分别为设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人人,则应付检验员的工资为：

则应付检验员的工资为：

因检验员错检而造成的损失为：

2022/11/1数学建模故目标函数为：

故目标函数为：

约束条件为：

2022/11/1数学建模运用最优化方法解决最优化问题的一般方法步骤如下：

运用最优化方法解决最优化问题的一般方法步骤如下：

前期分析：

分析问题，找出要解决的目标，约束条件，并确前期分析：

分析问题，找出要解决的目标，约束条件，并确立最优化的目标。

立最优化的目标。

定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函数和约定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函数和约束条件。

束条件。

针对建立的模型，选择合适的求解方法或数学软件。

编写程序，利用计算机求解。

对结果进行分析，讨论诸如：

结果的合理性、正确性，算法对结果进行分析，讨论诸如：

结果的合理性、正确性，算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与误差等。

的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与误差等。

2022/11/1数学建模线线性性规规划划某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出售。

制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要0.3千克一级黄豆及0.5千克二级黄豆，售价10元；

制作口感较厚实的豆腐每千克需要0.4千克一级黄豆及0.2千克二级黄豆，售价5元。

现小店购入9千克一级黄豆和8千克二级黄豆。

问：

应如何安排制作计划才能获得最大收益。

2022/11/1数学建模一、问题前期分析一、问题前期分析该问题是在不超出制作该问题是在不超出制作两两种种不同不同口感豆腐所需黄口感豆腐所需黄豆总量条件下合理安排制作计划，使得售出各种豆总量条件下合理安排制作计划，使得售出各种豆腐能获得最大收益。

豆腐能获得最大收益。

二、二、模型假设模型假设1假设制作的豆腐能全部售出。

假设制作的豆腐能全部售出。

2假设豆腐售价无波动。

假设豆腐售价无波动。

2022/11/1数学建模