【答案】（0,8）
11
4.一元二次不等式aχ2+bχ+2>0的解集是（一2,^）,则a+b的值是.
211
【解析】由已知得方程ax2+bx+2=0的两根为一-,
b=—1+1
a23
（-2）
解得a=—12
b=—2,
.∙∙a+b=—14.
【答案】-14错误!
It•属
解下列不等式
（1）3+2x—X≥0；⑵X2+3>2x;
元二次不等式的解法
2x
x—1
1.
【思路点拨】
（1）先把二次项系数化为正数，再用因式分解法;
式法求解；（3）移项通分，转化为一元二次不等式求解.
【尝试解答】
（1）原不等式化为X2—2x—3≤0,
即（x—3）（x+1）≤0,
故所求不等式的解集为｛x|—1≤x≤3｝.
（2）原不等式化为x2—2x+3>0,
•.•△=4—12=—8V0,又因二次项系数为正数，
•••不等式X2+3>2x的解集为R.
（2）用配方法或用判别
⑶Tx—≤1?
x—T1≤0?
肖≤0?
（x—1）（x+1）≤0且x≠1.
•原不等式的解集为［—1,I）.,现律方法&
（见学生用书第2页）
aa
得：
χι=—；,χ2=；・
43
1a>0时，—4V3，解集为｛XXV—4或x>3｝;
2a=0时，X2>0,解集为｛x∣x∈R且x≠0｝;
3av0时，一a>a,解集为｛xXV舟或x>—a｝.
4334“
综上所述：
当a>0时，不等式的解集为｛xixv—a或x>a》；
当a=0时，不等式的解集为｛xx∈R且x≠0｝;
当av0时，不等式的解集为｛xxv3或x>—
a
4｝.,
解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为
二次项系数为正的形式.
（2）判断方程实根的个数，讨论判别式△与0的关系.
（3）确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.
''解关于X的不等式x2—（a+1）x+av0.
【解】原不等式可化为（x—a）（x—1）v0.
当a>1时，原不等式的解集为（1,a）;
当a=1时，原不等式的解集为空集；
当aV1时，原不等式的解集为（a,1）.
•••不等式ax2+x+bvO的解集为
厂!
规律方法③
（1）给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根.
（2）三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法.
若关于X的不等式-a^V1的解集是{x∣xv1或x>2},求实数
x—1
围.
【解】V1?
（a—1）X+1VO?
[（a—1）x+1]（x—1）VO,由原不等式的解集是{xX
x—1x—1
V1或x>2},
a-1VO,I
知L1=2?
a=*
La—1
•实数a的取值范围是{1}.
若不等式mx2—mx—1VO对一切实数X恒成立，求实数m的取值范围.【思路点拨】分m=O与m≠O两种情况讨论，当m≠O时，用判别式法求解.【尝试解答】要使mx2—mx—1VO对一切实数X恒成立，
若m=O,显然—1VO;
…mVO,
右m≠O,则*2解得—4VmVO,
方法④卜
Δ=m+4mVO,
1.不等式ax2+bx+c>O的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a=O时，b=O,c>O;
Jra>O,2
当a≠O时，*不等式ax2+bx+CVO的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a=O时，
ΔvO;”
aVO,
b=O,CVO；当a≠O时，1
AVO.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
对任意a∈［—1,1］不等式X2+（a—4）x+4—2a>0恒成立，则实数X的取值范围是.
【解析】设f（a）=（x—2）a+x2—4x+4,则原问题可转化为一次函数（或常数函数）f（a）
在区间［—1,1］上恒正时X应满足的条件，
故应有
f（—1）>0,
f
（1）>0.
x2—5x+6>0,
即2
x2—3x+2>0,
化为*
（X—2）（X—3）>0,
（x—1）（x—2）>0.
解之，得XV1或X>3.
【答案】XV1或x>3
:
名师微博
也—个过程
解一元二次不等式的一般过程是:
一看（看二次项系数的符号）,二算（计算判别式，判
断方程根的情况），三写（写出不等式的解集）.
囤两点联想
不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+CV0）（a≠0）的求解，善于联想：
（1）二次函数y=ax2+bx+C的图象与X轴的交点，
（2）方程ax2+bx+C=0（a≠0）的根，运用好“三个二次”间的关系.
囤三个防范
1•二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况.
2.解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.
3•不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述.
育考葆脸・蹈考侑
（见学生用书第3页）
a-盂兔吐*⅛**⅛*
命题透视
从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、
一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点.常与集合、函数、导数等
知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想.
思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值
E!
例題（2011浙江高考）设x,y为实数，若4χ2+y2+Xy=1,则2x+y的最大值是.
【解析】法一设2x+y=t,•••y=t-2x,代入4χ2+y2+Xy=1，整理得6χ2-3tx+t2
—1=0.关于X的方程有实根，因此Δ=（—3t）2-4×6×（t2-1）≥0,解得一2^10≤t≤2^10
55
则2x+y的最大值是響.
5
法二■/1=4x2+y2+Xy=（2x+y）2—3xy
=（2x+y）2-
≥（2x+y）2-3∙（2x2⅛=5（2x+y）2,
?
210
∙∙∙（2x+y）2≤8,
•-暑2x+y≤
即-2510≤2x+y≤5
55
［答案】2510
5
阅卷心语
易错提示：
（1）换元后，不会从关于X的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思
维受阻.
（2）不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答.
防范措施：
（1）应熟练掌握一元二次方程与其判别式△之间的关系，关于X的一元二次
不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负.
⑵遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知.
自生体验
1.（2012天津高考）设x∈R,则“x>1”是“2x2+X-1>0”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1
【解析】2x2+X-1>0的解集为{x∣x>2或x<-1},
故由x>2?
2x2+X-1>0,但2x2+X-1>0D?
∕xg.
则“x>1"是“2x2+X-1>0”的充分不必要条件.
2
【答案】A
2.（2013清远模拟）不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是.
【解析】由题意知，不等式（a+2）x2+4x+a—1>0对一切x∈R恒成立，则有
a+2>0,
解得a>2.
△=16—4（a+2）（a—1）v0,
【答案】（2,+∞）
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