函数的连续性的例题与习题一.docx

函数的连续性的例题与习题一.docx

《函数的连续性的例题与习题一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的连续性的例题与习题一.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

函数的连续性的例题与习题一

函数的连续性的例题与习题

（一）

函数的连续性的例题与习题

函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。

第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。

下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。

还是那句老话：

看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！

这是与看文学小说的最大区别。

要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性

（一）

（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？

如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？

一．函数的连续

例1.1（例1.20

（一），这个序号值的是《函数连续性

（一）中的例题号，请对照）

设满足，且在连续。

证明：

在任意点处连续。

分析：

证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。

其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么

在本题里，要证的是“在任意点处连续”，那么我们就先固定一个点，用函数连续的定义来证明在处连续。

你可能要问：

函数连续的定义有好几个，用哪一个?

这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。

在本题中，提供了条件，也就是，你的脑海里就要想到，如果设，那么就有；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：

在连续！

它意味着：

。

证明的思路就此产生！

证明：

因为，取，则有，所以。

（#）

对于固定的（任意的！

），若取，有

，

分析：

首先要注意，函数不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。

所以它要求先写出的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数的数值，怎么确定呢？

利用函数的连续性。

这里需要计算极限的基本功。

中出现了几个幂函数，根据幂函数的性质，的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为进行讨论。

所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。

（1）：

都趋于零（当时），所以

。

（2）：

此时都将趋于无穷大。

为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数：

。

（3）：

；

（4）：

，极限不存在。

故得。

欲使连续，即使在连续，等价于，故。

例1.3（例1.22

（一））证明连续函数的局部保号性：

设在处连续，且，那么存在，当时，。

分析：

这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。

这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。

证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。

证明：

因为在处连续，所以对任给的，总存在，使得当时，恒有，也就是。

（+）

若取，在（+）式中取左边的那个不等式，就有；

若取，那么就有。

（不过，此时的中的要变小）

当然，你也可以取不同的，当然要变。

如果我们只需要证实的值为正，那么取就已经够了。

例1.4（例1.23

（一））设在区间上连续并大于零，证明在也连续。

分析：

我们需要证明的是：

在上任取点，对任给的，存在一个，使当时，

有。

直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！

）：

注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在的一个邻域中有！

至此，一个完整的证明思路就形成了。

证明：

对任一，，是的连续点。

由局部保号性，存在的邻域，使得。

所以在这个邻域中，

；

由在区间上的连续性知，对于任给，存在，使得当时，有

。

我们取，那么在这个更小的邻域中，（即）有

，

则有函数的连续的定义知，是函数的连续点；又由的任意性，得在区间也连续。

例1.5确定之值，使函数在内连续。

解：

在和两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。

所以，要使在整个实数域中连续，只需确定在的连续性条件。

在有定义，所以我们只需考虑它在的极限。

；

由此得方程，容易解得：

，

而对参数，连续性条件对它没有任何限制，所以可取任何实数。

例1.6设，，求之值，使在实数域上连续。

解：

两个函数的定义域不同，所以它们之和这个新函数的定义域需要加以明确。

显然，需要考虑3个区间：

：

。

现在可以对2个分界点处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）：

，

，

故有方程，

（1）

又，

，

又有方程，

（2）

联立

（1）

（2），解得。

练习题1设满足条件：

，有，且在处连续。

求证在整个实数域连续。

练习题2设，，求之值，使在实数域上连续。

二．函数的间断点

这里的基本概念是间断点的类型和分类。

请自己整理整理的内容。

例2.1考察函数的间断点，判别其类型。

解：

函数在有定义，但是，，所以在的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点（第一类）。

例2.2考察函数的间断点，判别其类型。

解：

函数在有定义，但不存在，这是因为时，，不存在；

又，这是因为在极限过程中是有界量，。

所以是函数的第二类间断点。

例2.3求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。

（1）；

（2）。

解：

（1）都是使函数没有定义的点，故是间断点。

由于，所以是函数的无穷间断点（第二类）。

又，

是个确定的值，极限存在，所以是可移去间断点，加以补充定义：

后函数在连续。

但是要注意的是，仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在仍然间断。

（2）显然，是使函数没有定义的点，所以是间断点。

，

故是无穷间断点（第二类）。

，

故是可去间断点（第一类），补充定义后，函数在连续。

，

可见也是可去间断点（第一类），补充定义后，函数在连续。

例2.4讨论下列函数的间断点：

（1）；

（2）。

解：

（1）使函数无定义（对无定义，故函数本身也无定义），故为间断点。

，（因为）

，（因为）

左，右极限存在，却不相等，故是跳跃型间断点（第一类）。

（2）处没有定义，故为间断点。

，

，

可见，处函数的左，右极限都存在，且相等，故是可去间断点（第一类）。

例2.5根据的不同数值，讨论在处的连续性，若间断，判别属于何种间断点：

。

解：

，（请你讲出理由）

，

且

所以，当，且时，在的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在连续；

当，且时，在间断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃间断点；

当时，在左连续，右间断，故属于第二类间断点。

例2.6（1998年考研题数二）求函数在区间内的间断点，并判别其类型。

解：

当时，使成为无穷大，没有定义，故是的间断点；

因为，故；

，故，

所以，在间断点，函数的极限存在，是第一类间断点。

又因当时，，使得没有定义，从而函数在这些点没有定义，因此也是函数的间断点。

，故；

，故

所以，间断点属于第二类间断点。

例2.7（2001年考研题数二）求极限，记此极限为，求出的间断点，并指出其间断点的类型。

分析：

本题不是单纯讨论间断问题，首先要计算一个极限，得出函数。

解：

至此，可以看出这是一个型的极限。

这是我们已经很熟悉的问题了，做下去——

。

所以下面我们讨论函数的间断点。

显然，使的点是使得没有定义的点，即是的间断点。

因为，

，

所以，是第一类间断点，而是第二类间断点。

练习题3设在处连续，求参数之值。

练习题4设在上连续，且，则常数应满足（）：

A．；B.;C.;D..

练习题5（1995年考研题数二）设和在上有定义，为连续函数，且，

有间断点，则（）：

A．必定有间断点；B.必定有间断点；

B．必定有间断点；D.必定有间断点。

（请你举出例子来验证你的结论）

练习题6（1998年考研题数四）设函数，讨论的间断点，结论为（）

A．不存在间断点；B.存在间断点；C.存在间断点；D.存在间断点