山西省运城市空港新区高三数学模拟考试试题三理.docx

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山西省运城市空港新区高三数学模拟考试试题三理

山西省运城市空港新区2017届高三数学模拟考试试题（三）理

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）

1.已知集合，那么

A.B.C.D.

2.复数（i为虚数单位）的共轭复数为

A.B.C.D.

3.下列有关命题说法错误的是

A.命题“若”的逆否命题是：

“若”

B.“”是“”的充分不必要条件

C.若为假命题，则均为假命题

D.对于命题，则

4.在一次数学竞赛选拔测试中，每人解3道题，至少解对2道题才能通过测试被选上，设某同学解对每道题的概率均为（），且该同学是否解对每道题互相独立，若该同学通过测试被选上的概率恰好是，则的值为

A.B.C.D.

5.如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为

A.

B.

C.4

D.

6.在等差数列中，，

则

A.16B.12C.8D.4

7.函数的图像大致是

8.在中，,则

A.9B.3C.2D.1

9.已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项是

A.B.

C.D.

10.已知双曲线的左右两个焦点分别为,是双曲线上的一个动点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为

A.B.

C.D.

11.定义：

用表示不小于的最小整数，例如，已知数列满足：

，则

A.－1B.0C.1D.2

12.已知函数的定义域为R，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为

A.7B.6C.3D.2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知变量满足约束条件，则的最小值为.

14.已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，,球心到平面的距离为1，则球的表面积为.

15.已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线分别交于两点，若点满足，过点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则的横坐标为.

16.已知函数在上可导，且满足恒成立，，若曲线在点处的切线为且，则=.

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17.（本小题满分12分）已知，将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.

（1）若，求的单调区间；

（2）在中，角所对的边分别是，且

求的范围.

18.（本小题满分12分）一超市在销售一批大小相近的某时令水果时，由于存放的时间对口味影响较大，超市根据调研决定最多销售5天，第6天就会扎成果汁。

进价2元一个，售价10元一个，每天的仓储保管费平均为每个水果每天0.5元，（第一天售出的水果，算一天仓储保管费，第二天售出的水果，算两天仓储保管费，以此类推）一个水果榨成果汁后能卖2元且能很快售完，果汁不计仓储保管成本。

按以下规则定价：

售出时间

第一天

第二天

第三天

第四天

第五天

售出时折扣

原价

9折

8折

7折

5折

从该批水果中随机抽取100个贴上标记，根据这100个水果的销售情况得到如下数据：

售出的时间

第一天

第二天

第三天

第四天

第五天

售出的个数

40

25

15

5

10

（1）估计一个水果至多两天（包括两天）销售出去的概率；

若一个水果在第二天售出，求这个水果产生的利润.

（2）以事件发生的频率作为相应的概率，在这批水果的销售活动中，设一个水果产生的利润为元，求的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，直角梯形，,将四边形沿折起，使,，.

（1）求证：

；

（2）设,是否存在符合条件的点，使得为直二面角，若存在，求出相应的值，否则说明理由.

20.（本小题满分12分）设椭圆的左右焦点分别是,下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图，若抛物线与轴的交点为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆与点，求面积的最大值.

21.（本小题满分12分）已知函数有两个零点.

（1）求实数的取值范围；

（2）设是函数的两个零点，证明：

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线的极坐标方程；

（2）设直线与曲线相交与A,B两点，求到A,B两点的距离之积.

23.（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

（1）解不等式；

（2）已知若对恒成立，求实数的取值范围.

数学理（三）答案

1.解析：

【A】

由题意可知，，则

2.解析：

【B】

3.解析：

【C】

4.解析：

【A】

该同学通过测试被选上有2种情况：

3道题答对两道或全答对

则概率为，故

5.解析：

【A】

底面半径，圆锥的高为

底面面积

体积，故

6.解析：

【D】

是等差数列，

7.解析：

【B】

因为解得，所以A,C不正确；

当时，是增函数，因为是增函数，所以是增函数，所以D不正确。

8.解析：

【B】

由得，，由，

所以，

所以

9.解析：

【D】由框图可知：

跳出循环，故

10.解析：

【D】

设与圆相切于点，因为，所以为等腰三角形，所以,又因为在直角中，，所以,又，,由可得，

11.解析：

【C】

12.解析：

【A】

，另外6个交点两两关于对称，其横坐标之和为6，故选A

13.解析：

【】

由题可知，设，要使最小，只需最小即可，当经过时，最小为，故的最小值为

14.解析：

【12】

由题可知在平面ABC上的投影为BC的中点，截面的半径为，故球半径，则

15.解析：

【6】

由题意可知：

抛物线的焦点为，准线为，是的中点，设，直线的方程为，将直线方程代入抛物线方程消去得：

，由根与系数的关系可得：

，又设，，所以，所以，，故，所以点的横坐标为

16.解析：

【-502.5】

构造函数，则，

由可知，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，则，故，则曲线在点处的切线为，则

17.解：

（1），将的图像向右平移个单位得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.…………………………3分

又，可得.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故单调递增区间为；单调递减区间为.........................6分

（2）由，又，故.

又，由正弦定理可得，

所以，

故，

由，得，故............12分

（也可用余弦定理计算）

18.解：

（1）一个水果至多两天（包括两天）销售出去的概率………2分

一个水果在第二天售出，这个水果产生的利润为.................4分

（2）一个水果在第一天售出，这个水果产生的利润为元

一个水果在第二天售出，这个水果产生的利润为元

一个水果在第三天售出，这个水果产生的利润为元

一个水果在第四天售出，这个水果产生的利润为元

一个水果在第五天售出，这个水果产生的利润为元

一个水果在前五天没售出，在第六天作为果汁出售，这个水果产生的利润为元

故的可能取值为7.5，6，4.5，3，0.5，-2.5……………………………………7分

,,

,………10分

故的分布列为

7.5

6

4.5

3

0.5

-2.5

……………………11分

故元…12分

19.

（1）证明：

由已知在直角梯形中，可得.

又,所以平面，所以.

又与平面所成角为，所以.

在中，,所以四边形为正方形.

所以,所以平面.............................................................................5分

（2）解：

以为坐标原点，所在直线分别为，，，建立空间直角坐标系（如图），则

,,,..6分

....................................7分

设平面的一个法向量为=，平面的一个法向量为，

则，

令所以..................................................................8分

令，则所以............................10分

由………………………11分

所以存在符合条件的点使得为直二面角，且...............................12分

20.解：

（1）由题意可知，令即得，

故椭圆的方程为.............................................................................................4分

（2）设，由知直线，

即....................................................................................................................5分

将直线方程代入椭圆方程整理得：

设，

，.............................7分

.........................................................................................8分

设点到直线的距离为,则

...........................................9分

所以，的面积

……………………………………11分

当时取到“=”，经检验此时

综上可知，的面积的最大值为.....................................................................12分

21.解:

依题意得，

当

当.

故函数在上单调递减，在上单调递增.

则由

得，当,，所以实数的取值范围为

综上所述：

当时，函数有两个零点............................................5分

（也可通过图像有两个交点处理）

（2）证明：

依题意得：

.........................................................6分

则，则......................................................7分

故要证，即证，

也即证......................................................................................................9分

令，则设则

设，在上单调递增，

，，故原不等式得证...........................12分

22.解析：

（1）由极坐标与直角坐标互化公式可知的极坐标方程为............................