初等几何研究讲义提纲函授用Word文档格式.docx
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三角形的内角定理,正多面体最多有五种。
欧几里得（公元前330年至前275年,古希腊人）在前人工作的基础上,总结,发展了几何学,使几何系统化、严谨化。
写出了光辉著作《几何原本》。
世界历史上从来末有一本科学书籍象《几何原本》那样长期地成为广大教师、学生的读物,《几何原本》手抄本先流传了1800多年,从1482年至19世纪末,印刷本用各种文字出了一千版以上。
元朝（13世纪）阿拉伯文本传入我国。
明朝（17世纪）徐光启汉译本出版。
古埃及的几何知识与古希腊的逻辑学结合产生了欧几里得几何学。
直到19世纪末,希尔伯特的《几何基础》出版,其完善的公理体系才代替了《几何原本》。
第一章几何公理体系
第一节欧几里得的《几何原本》与希尔伯特的《几何基础》
一.欧几里得的《几何原本》
1.《几何原本》的主要内容:
《几何原本》共13卷,第5、7、8、9、10卷为算术和比例,其它8卷为
几何。
1、2卷:
直线形（三角形、平行线）;
3卷:
圆；
4卷:
内接和外切多边形;
6卷：
相似形
11、12、13卷:
立体几何。
在第1卷中,首先给出23个定义,5个公设、5个公理,组成公理体系。
定义:
（1）点是没有部分的；
（2）线有长度而没有宽度；
（3）线的界限是点；
（4）直线是同其中各点看齐的线；
（5）面只有长度和宽度；
（6）面的界限是线；
（7）平面是同其上直线看齐的那种面；
（8）至（22）为角、平角、垂线、圆…。
（23）平行直线是在同一平面内,而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交的直线。
公设:
（1）从每一点向另一点可引直线；
（2）每条直线可以无限延长；
（3）以任意点为圆心,可用任意长为半径画圆；
（4）所有的直角都相等；
（5）在同一平面上,若两直线和第三直线相交,且在同侧构成的两个内角之和小于两直角,则这两条直线在第三直线的这一侧相交。
公理:
（1）等于同量的量相等；
（2）等量加等量,其和相等；
（3）等量减等量,其差相等；
（4）互相重合的量相等；
（5）全量大于部分。
其中公设是关于几何关系的规定,而公理是关于数量的规定,现代统称公理。
2.《几何原本》特点及其历史意义:
（1）《几何原本》特点:
是用（古典）公理体系最早建立比较完整的数学体系的典范,其基本思想是以较少的几个基本假设（公理、公设）为基础,运用逻辑上的定义和推理的方法推导出尽可能多的定义和定理。
这样,欧几里得就把历史上积累的庞杂分散的几何知识编排成较完整的理论体系。
（2）历史意义:
《几何原本》是历史上第一部比较完整的数学理论著作,是一部初等数学的基础教材,两千多年来一直被人沿用,对数学教育产生了深远的影响,对自然科学的发展起了重大的作用。
3.《几何原本》公理体系的缺陷:
（1）有些定义模糊,逻辑顺序不清楚。
如“点”、“直线”、“平面”的概念是用“部分”、“长度”、“宽度”等概
念来定义的,而后者实际上更为复杂,用“看齐”来定义直线、平面,语言费解。
（2）有些推理缺乏依据,只得借助于直观
例如:
证明两边及夹角对应相等的两个三角形全等时,用“运动”把一个三角形与另一个三角形重合,但运动过程中图形的形状、大小是否会改变无公理保证,仅借助于直观。
（3）有的公理不独立
如"
所有的直角都相等"
可用其它公理推导出,应为定理。
二.希尔伯特的《几何基础》
1.希尔伯特对公理体系的要求:
（1）相容性：
各公理之间不存在互相矛盾的现象:
（2）独立性:
要求公理的条数尽可能的少,也就是不能有能被其它公理证明的公理命题
（3）完备性：
由定义和公理组成的公理系统不必借助于直观而用纯粹逻辑推理的方法展开全部几何学。
3.希尔伯特公理体系
欧几里得以后的许多数学家都致力于完善欧几里得公理体系的工作,直到1899年希尔伯特发表《几何基础》才算完成这项工作。
希尔伯特《几何基础》公理体系包括三个基本元素（原始概念）、三个基本关系、五组二十条公理。
希尔伯特公理体系（见教科书P242页附1.1）
第二节中学几何教材的公理体系
本世纪流传的小学几何课本,是仿照勒让德（1752-1833）对《几何原本》的改写本改写的。
我国的中学几何教材,是在解放初,取材于前苏联几何课本,参考解放前用的三S平面几何编写,后经七次较大修改（l952,1956,1962,1977,1982,1993,2001）。
但逻辑结构不变,与《几何原本》出入不很大。
（近几年的教材是根据课程标准各地编写的）
一.现行中学课本公理:
1.经过两点有一条直线,并且只有一条直线；
2.在所有连结两点的线中,线段最短；
3.经过直线外一点有且只有一条直线和这条己知直线平行；
4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
5.（边角边公理）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
6.（角边角公理）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；
7.矩形的面积等于它的长和宽的乘积；
8.如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内；
9.如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；
10.通过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面；
11.平行于同一直线的两条直线互相平行；
12.长方休的体积等于它的长、宽、高的乘积；
13.（祖暅原理）夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的截面面积相等,那么这两个几何体的体积相等。
二．现行中学几何公理体系的特点:
1.公理方面:
（1）采用扩大了的公理体系，把一些可以证明但较难证明的定理作为公理以减少教学难度,这样作放弃了公理休系的独立性
（2）顺序公理、连续公理不提及,全靠直观承认,这样作实际上是放弃了公理体系的完备性。
体现了数学教育的几何与数学科学的几何的不同，是为照顾学生的年龄特征与思维能力。
公理体系的相容性是满足的。
2.概念方面:
（1）对原始概念点、直线、平面是用描述的方法,通过实例引入的。
易为学生接受。
（2）采用一些没有解释的概念,如“通过”,“在……之间”，“同侧”等；
（3）对一些概念未能作出精确的定义,如“长度”，“面积”，“体积”等。
三．中学几何课程的改革:
中学数学是各国中学课程中相对比较统一的一门学科,而几何课程是其中最不统一的部分。
随着时代的变迁,传统的欧氏几何作为现代中学课程是不适宜的,但完全把欧氏几何拒之于中学门外也是不正确的,儿何课程的改革势在必行。
中学门外也是不正确的，几何课程的改革势在必行。
第二章几何证明
第一节命题
1.命题:
反映客观事物具有某种性质或某种关系的思维形式叫做判断。
表示判断的语句叫命题。
命题由两部分组成,第一部分称前提或假设,第二部分称结论。
数学上的命题常写成假言命题的形式。
若P则Q.记作PQ
2.命题的四种变化（见教材P4）
二.证明:
1.证明的意义和结构:
证明是通过一连串的推理,由一些真实性的命题来确定某一命题真实性的
过程。
证明由论题、论据、论证三部分组成。
（1）论题:
指需要确定其真实性的那个命题,命题的条件是己知部分,结
论是求证部分。
（2）论据:
指被引用来作为证明论题真实性的命题,在几何证明中的论据
是公理、已知定义、定理和论题中的己知条件。
（3）论证:
指论据和论题之间的逻辑联系的方式,也就是用那些推理形式
从论据推出论题的过程。
2.证明的种类:
按照推理形式可分为演绎法和归纳法,按照证明方法可分为
直接证法和间接证法,按照思维理路（理由和路线）可分为综合法和分析
法。
（1）直接证法和间接证法:
1°
直接证法:
由论题的己知条件出发,根据定义、定理、公理进行一系列
正面的逻辑推理,最后得出命题的结论,这种证明方法称为直接证法。
2°
间接证法:
有些命题用直接证法较困难可改证原命题的等效命题,这样的
证明方法称为间接证法。
常用的间接证法可分为:
同一法、反证法。
同一法:
如果一个命题是同一性命题（条件与结论唯一）,并且直接证明有困难可以改证与
原命题等价的逆命题,这种方法叫同一法。
运用同一法证明“具有条件A的图形F必具有性质B”的步骤:
第一步：
另作一图形使它具有性质B;
第二步:
证明所作的图形F'
符合己知条件A;
第三步:
由于己知条件所制约的图形具有唯一性,从而判断F与F'
重合,于是图形F具有性质B。
P15例3
反证法:
从否定结论的正确性出发,根据假设、定义、公理、定理进行一系列正确推理,最后得到一个矛盾的结果（与命题的假设矛盾,或与某个定理、公理矛盾,或自相矛盾）这就表明结论的反面不能成立,从而肯定结论的正确性,这种方法叫反证法。
反证法可分为归谬法和穷举法。
若论题的反面只有一种情况,否定这种情况便完成了证明,这种证法称为归谬法；
若论题的反面有多种情况,必须把所有情况全部列举出来并一一加以否定,
这种证法叫穷举法。
例1（P13例1）
例2己知:
P是△ABC内部一点若AB=AC且∠APB＞∠APC
求证:
PB<
PC
（2）综合法与分析法:
由于思维理路有顺逆之分,证明方法可分为综合法与分析法。
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