步步高高中数学版理科第一轮复习资料第六编数列Word格式.docx
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∴a3·
a2=a2+(-1)3,∴a3=,
∴a4=+(-1)4,∴a4=3,
∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,
∴=×
=.
4.(2009·
北京石景山4月高三模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n3,则a5+a6的值为( )
A.91B.152C.218D.279
解析 a5+a6=S6-S4=63-43=152.
答案 B
5.(2009·
长沙模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a20等于( )
A.0B.-C.D.
解析 a2==-,a3==,
a4==0,∴数列{an}是周期为3的一个循环数列,
∴a20=a3×
6+2=a2=-.
6.(2010·
清远阶段测试)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<
ak<
8,则k等于( )
A.9B.8C.7D.6
解析 ∵Sn=n2-9n
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10
a1=S1=-8适合上式,∴an=2n-10(n∈N*)
∴5<
2k-10<
8,得7.5<
k<
9.∴k=8.
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.(2009·
佛山二模)已知{an}的前n项和为Sn,满足log2(Sn+1)=n+1,则an=________.
解析 由已知条件可得Sn+1=2n+1.
∴Sn=2n+1-1,
当n=1时,a1=S1=3,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n,
n=1时不适合an,∴an=.
答案
8.(2008·
四川文,16)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=__________.
解析 由an+1-an=n+1可得,
an-an-1=n,
an-1-an-2=n-1,
an-2-an-3=n-2,
……
a3-a2=3,
a2-a1=2,
以上n-1个式子左右两边分别相加得,
an-a1=2+3+…+n,
∴an=1+(1+2+3+…+n)=+1.
答案 +1
9.(2009·
北京理,14)已知数列{an}满足:
a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2009=________,a2014=________.
解析 a2009=a4×
503-3=1,a2014=a1007=a252×
4-1=0.
答案 1 0
三、解答题(共40分)
10.(13分)(2010·
株州调研)已知数列{an}的通项an=(n+1)n(n∈N*),试问该数列{an}有
没有最大项?
若有,求最大项的项数;
若没有,说明理由.
解 ∵an+1-an=(n+2)n+1-(n+1)·
n
=n·
.
当n<
9时,an+1-an>
0,即an+1>
an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>
9时,an+1-an<
0,即an+1<
an.
故a1<
a2<
a3<
…<
a9=a10>
a11>
a12>
…,
所以数列中有最大项为第9、10项.
11.(13分)(2009·
宁波模拟)已知数列{an}中,
an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.
解
(1)∵an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),
∵a=-7,∴an=1+(n∈N*).
结合函数f(x)=1+的单调性.
可知1>
a1>
a2>
a3>
a4;
a5>
a6>
a7>
…>
an>
1(n∈N*).
∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
(2)an=1+=1+.
∵对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,
并结合函数f(x)=1+的单调性,
<
6,∴-10<
a<
-8.
12.(14分)(2010·
中山摸底考试)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:
①不等式
f(x)≤0的解集有且只有一个元素;
②在定义域内存在0<
x1<
x2,使得不等式f(x1)>
f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f(n).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求数列{an}的通项公式.
解
(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素,
∴Δ=a2-4a=0⇒a=0或a=4,
当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,
故存在0<
f(x2)成立,
当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增,
故不存在0<
综上,得a=4,f(x)=x2-4x+4.
(2)由
(1)可知Sn=n2-4n+4,
当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(n2-4n+4)-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5,
∴an=.
6.2 等差数列及其前n项和
1.(2008·
广东理,2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6等于( )
A.16B.24C.36D.48
解析 ∵S4=2+6d=20,∴d=3,故S6=3+15d=48.
答案 D
安徽文,5)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
A.-1B.1C.3D.7
解析 由已知得a1+a3+a5=3a3=105,
a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=-2.
∴a20=a3+17d=35+(-2)×
17=1.
3.(2009·
湖南文,3)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13B.35C.49D.63
解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14.
∴S7==49.
宁夏、海南理,7)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4等于( )
A.7B.8C.15D.16
解析 设等比数列的公比为q,则由4a1,2a2,a3成等差数列,得4a2=4a1+a3.∴4a1q=4a1
+a1q2.∴q2-4q+4=0.
∴q=2,∴S4==15.
5.(2010·
青岛一模)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,
则m为( )
A.12B.8C.6D.4
解析 由等差数列性质a3+a6+a10+a13
=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8.∴m=8.
6.(2009·
北京朝阳高三一模)各项均不为零的等差数列{an}中,若a-an-1-an+1=0(n∈N*,
n≥2),则S2009等于( )
A.0B.2C.2009D.4018
解析 ∵a=an-1+an+1=2an,an≠0,∴an=2.
∴Sn=2n,S2009=2×
2009=4018.
辽宁理,14)等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=________.
解析 由题意知6-5
=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4=5,故a4=.
8.(2009·
全国Ⅱ理,14)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则=________.
解析 设等差数列的公差为d,首项为a1,
则由a5=5a3知a1=-d,∴==9.
答案 9
9.(2010·
东莞模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2∶a4=7∶6,则S7∶S3=________.
解析 ∵=,∴=,
∴=,∴=,∴=2.
答案 2∶1
潮州调研)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).
(1)求证:
数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项.
(1)证明 因为3anan-1+an-an-1=0(n≥2),
整理得-=3(n≥2).
所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.
(2)解 由
(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=.
11.(13分)(2010·
菏泽阶段检测)已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列
{bn}满足bn=(n∈N*).
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.
(1)证明 因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=.
所以当n≥2时,bn-bn-1=-
=-=-=1.
又b1==-.
所以,数列{bn}是以-为首项,以1为公差的等差数列.
(2)解 由
(1)知,bn=n-,则an=1+=1+.
设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间和内为减函数.
所以,当n=3时,an取得最小值-1;
当n=4时,an取得最大值3.
12.(14分)(2009·
绍兴模拟)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列,若存在,求出λ的值;
若不存在,请说
明理由.
解
(1)∵a1=5,
∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.
(2)方法一 假设存在实数λ,使得数列为等差数列,
设bn=,由{bn}为等差数列,则有2b2=b1+b3,
∴2×
=+,∴=+,
解得λ=-1.事实上,bn+1-bn=-
=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1.
综上可知,存在实数λ=-1,使得数列为等差数列.
方法二 假设存在实数λ,使得为等差数列.
设bn=,由{bn}为等差数列,
则有2bn+1=bn+bn+2