平面向量中三点共线定理妙用Word文件下载.docx
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uuuQAP
uuuujur
xAByAC
且x>
0,y>
14
（）（x
xy
4x
Qx>
由基本不等式可知:
4，取等号时
y4x
4x2
2xQx0,y0y2xQx
1
3，y
I，符合
所以丄
x
4的最小值为
y
本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地
结合在一起,
较综合考查了学生基本功.
例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中,
UULT1UULTuuu
AN3nc，点P是BC上的一点，若AP
UUU2UULT
mAB石AC，则实数
m
图2
的值为（
A.2
11
B.5
C.3
D.-
QB,P,N
uuu
三点共线，又QAP
uuu2mAB
2UULTAC11
mAB
2UULT
4AN11
uuu8uuu"
mABAN11
m§
1
m-，故选C
例4（07年江西高考题理科）如图3，
在AABC中，点
O是BC的中点，过点O的
直线分别交直线AB、AC于不同的两点
M、N，若AB=
mAM,AC
=nAN，贝Um+n的值为
Q因为O是BC的中点，故连接AO,如图4，由向量加法的平
行四边形法则可知:
UULTUUUUUULT
QAB=mAM，AC
UULT1uuuuuur
AO—（ABAC）2
UULT
nAN
图3
uur
uuLur
AO
-（mAM
nAN）
uuuu
nuur
AM
-AN
又QM,O,N三点共线,
由平面内三点共线定理可得：
m21mn2
P、Q
例5（广东省
2010届高三六校第三次联）如图5所示:
点G是A0AB的重心,
设OP
xOA，OQyOB，证明：
11
疋疋值，
证明：
Q因为G是VOAB的重心,
21uuuuuu1uuu
OG
（OAOB）（OA（
323
OB）
uuruur1ujur
xOAOA—OP
uuur
unr
QOP
QOQ
yOB
OB
1uuuuuu11uuu1
（OAOB）（OP—
33xy
uuiu
1uuu
OP3x
OQ）
又QPGQ三点共线，3X3y
3-
分别是边OA、
OB上的动点，且P、G、Q三点共线.
1uuir
OQy
1为定值
1imrOQ3y
图5
例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,
占
八、、）
uuur记ABa，
uuir
AD
r
b，
uur则AG
2r1r
2r
3r
小3r
1r
4r
A.
ab
B.
a
b
C.a
D.a
77
7
unr1mmuuur1uur
在平行四边形ABCD中，AE-AB,AF—AD,CE与BF相交于G34
D-
图6
分析：
本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联
想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解
存在唯一的一对实数x使得
利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一：
如图7所示，在三角形ABC中,AM:
AB=1:
3,AN:
AC=1:
4,BN与CM相交于点P，且ABa，ACb，试用a、b表示AP
图7
QN,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：
存在唯一的一对实数x,y使
uuuuuruur
得APxAByAN,xy1
QAN:
4,ANAC
丄b
ry[r1xrxabxab…
AP
xAB
AC
…•①
4
44
又QC,P,M三点共线，由平面内三点共线定理可得：
存在唯一的一对实数,使得
uurAP
uuuuAM
AC,
•/AM:
3•••AM
1--AB3
3a，，
b…
②
3
由①②两式可得：
8
Qxy1,y
uuu3rAP—a
1x
例6的变式二：
如图8所示：
直线I过YABCD的两条对角
线AC与BD的交点0,与AD边交于点N,与AB的延长线
uuu.uur一,
交于点M。
又知AB=mAM,AD=nAN，贝Um+n=_
因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点
UULT1uuuuuruuuumr
AO（ABAD）QAB=mAM,AD=nAN
uuriuuiuruurmuuuunuur
AO（mAMnAN）AMAN又QM,0,N三点共线，
222
由平面内三点共线的向量式定理可得：
m-1mn2
22
定理的推广：
x,y使彳图：
io
点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：
存在唯一的一对实数
uuuiuuuuur
例7已知点P为VABC所在平面内一点，且AP丄ABtAC（t3
若点P落在VABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）
1，所以A,D两
由题目的条件知：
点O与点P在直线AB的同侧，所以x
选项不符合。
对于选项B、C,都有xy1,
QOPxOAyOBtx,t
例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM//AB,点P在由射
线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边
uuuuuuuuu1
界）运动，且OPxOAyOB,当x?
时，y的取值范围
当x
2时,
图13
①如果点
P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：
y勺
②如果点
P在直线0M上,
uuuuuu
OM//AB可知：
OPPAB，由平面向理共线定理可知:
数t,使得OP
tAB
t（OB
OA）
tOA
uurtOB，
QOPxOA
yOBtx,t
t2，y
2，又因为点P在两平行直线AB、OM
之间,
所以
所以实数
13
y的取值范围是：
（厂L
2r
C.-a
OB，其中a氏R且a+3=1，则x,y所满足的关系式为（）
一—一14
2、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR，贝U-xy
的最小值是
于点F。
已知AB=a,AD=b，则OF=（）
5、（2008
年广东卷）在平行四边形
ABCD中,
AC与BD交于点0,E是线段OD的中点，AE
的延长线与
CD交于点
F.若
a,BD
b，则
AF（
）
11,
1,
1,
2,
abB.
C.—a
D.-a
42
8、如图所示：
A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若
uuiruuruuu
OCxOAyOB
则有：
（
A.0x
B.xy
A.xy
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