中职数学立体几何教案Word格式.docx
《中职数学立体几何教案Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中职数学立体几何教案Word格式.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
了解平面的表示方法和基本性质
教学重点
平面的基本性质
教学难点
用集合符号表示空间点、直线和平面的关系
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.平面及其表示
常见的平面形象大都是矩形状的,当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时,感到它们与平行四边形是一致的,因此,通常画一个平行四边形来表示平面.图5-27
(1)表示平放的平面,图5-27
(2)表示竖直的平面.请注意它们画法之间的区别.
如果要画相交的两个平面,可以按图5-28所示的步骤进行.
一个平面通常用小写希腊字母、、、…表示,写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部,记作“平面”、“平面”,…,或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明,记作“平面AC”或“平面BD”,当然也可记作平面ABCD(如图5-27).应该注意,正像平面几何中直线是可以无限延伸一样,平面也是可以无限延展的,也就是说,它是没有边界的,我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分.
空间图形也可看作是空间点的集合,因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示:
①点A在直线l上,记作AÎ
l,点A不在直线l上,记作AÏ
l;
②点A在平面内,记作AÎ
,点A不在平面内,记作AÏ
;
③直线l在平面内,记作lÌ
④直线l与直线m交于点N,记作lÇ
m={N},直线l与直线m没有交点,记作lÇ
m=Æ
;
⑤直线l与平面交于点N,记作lÇ
={N},直线l与平面没有交点,记作lÇ
=Æ
⑥平面与平面交于直线l,记作Ç
=l,平面与平面不相交,记作Ç
.
在以后的学习中,我们将经常用到这些记号.
课内练习1
1.能不能说一个平面长2米,宽1米,为什么?
2.画一个平行四边形表示平面,并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面.
3.分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面.
4.用符号表示下列点、线、面间的关系:
(1)点A在平面内,但在平面外;
(2)直线l经过平面外的一点N;
(3)直线l与直线m相交于平面内的一点N;
(4)直线l经过平面内的两点M和N.
5.下面的写法对不对,为什么?
(1)点A在平面内,记作AÌ
;
(2)直线l在平面内,记作lÎ
(3)平面与平面相交,记作Ç
(4)直线l与平面相交,记作lÇ
¹
Æ
2.平面的基本性质
基本性质:
(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
如图5-29,直线l上两点A,B在平面内,那么l上所有的点都在平面内,这时我们可以说,直线l在平面内或平面经过直线l.
这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内.
因为平面是可以无限延展的,因此两个平面如果有公共的点,那么延展的结果,它们必定相交于一条直线.由此得平面的第二个基本性质:
(2)如果平面有一个公共点,那么它们相交于经过这个公共点的一条直线.
如图5-30,平面与平面相交,C是公共点,那么它们相交于过C的直线l.如果我们把一张纸摊平折起来,折痕一定是一条直线,就是这个道理.
(3)经过不在同一直线上的任意三点,可以作一个平面,且只可以作一个平面.
这个性质也可以简单地说成:
不在一直线上的三点确定一个平面.如图5-31,A、B、C三点不在同一直线上,经过这三点可以且只可以画一个平面.
现在你可以明白前面提出的问题了.凳子三条腿、照相机支架三条腿,三个着地点总是在一个平面上,因此总是平稳的.
从上述三个性质出发,还可以推出确定一个平面的其它很多方法,其中最常用的是下面三个推论:
①一条直线和直线外一点可以确定一个平面;
②两条相交直线可以确定一个平面;
③两条平行直线可以确定一个平面.
课内练习2
1.判断题
(1)如图,我们能说平面与平面只有一个交点A吗?
(2)如图,我们能说平面与平面相交于线段AB吗?
(3)如图,我们能说线段AB在平面内,但直线AB不全在平面内吗?
2.三角形一定是平面图形吗?
为什么?
3.一扇门可以自由转动,如果锁住,就固定了,如何解释?
4.怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内?
小结
作业
2013年5月14日第13周
4
9.2空间两条直线的位置关系
了解直线的位置关系,空间平行直线关系的传递性
会求异面直线所成的角
异面直线的概念及其判定
异面直线所成的角
异面直线的判定
1.两条空间直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系有两种:
相交或平行.在空间中的两条直线是否也是如此呢?
我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线,能够找到平行和相交的直线,但也能发现一些直线,它们既不平行也不相交.
把教室看成一个长方体ABCD-ABCD(如图9-32),可以发现直线对BC与AA、AD与DC以及对角线BD与AC等等,它们不同在一个平面内.
我们把两条既不相交、又不平行的直线,叫做异面直线,也可以说,把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线.因此,空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种:
(1)没有公共点——平行
(2)只有一个公共点——相交
(3)既不相交也不平行——异面(不可能同在一个平面上).
在画异面直线时,要像图9-33那样,把两条直线明显地画在不同的平面内,这样就容易体现出“异面”的特点.
1.找出日常生活中异面直线的几个例子.
2.画出图5-32中各面上的对角线,找出不少于5对异面直线来.
3.两条直线分别在两个平面内,它们是否一定异面直线?
4.能否把没有公共点的两条直线叫做平行线?
2.空间的平行直线
平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行,在空间情况仍然是正确的.例如图9-34中,因为ABBA、BCCB都是矩形,AA∥BB,CC∥BB,所以CC∥AA.在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法.
在平面几何中有一个判定定理:
如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.对立体几何中空间的角,这条道理仍然成立.如图9-34中的和。
例1如图9-35,已知E、F、G、H分别是任意空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边形.
证明
由此即得EH=FG且EH//FG.所以四边形EFGH是平行四边形.
1.把一张长方形的纸对折两次然后打开,观察折痕是否平行,为什么?
2.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条直线,使它们成为平行直线.
3.如图,在长方体中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证:
EF=E1F1且EF//E1F1.
4.如图,在长方体ABCD-ABCD中,E,E¢
分别是棱AD,A¢
D¢
的中点,求证:
CEB=C¢
E¢
B¢
3.异面直线所成的角
平面几何中的角的两条边是相交的,空间异面直线不相交,怎么形成角呢?
我们可以这样来定义:
如图5-36
(1),设l、m是两条异面直线,在空间任取一点P,过P作l∥l、m∥m,把l、m所成的(不大于90)角,叫做异面直线l、m所成的角(或l、m的夹角),采用平面情况的记法,记作l^m.
为了简便起见,点P常取在两异面直线中的一条上.
例如在直线m上,过点P作直线l∥l(如图9-36
(2)),那么l、m所成的角就是异面直线l、m所成的角.
如果两条异面直线l、m所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直,记作lm.如果两条直线所成的角为0角,那么我们就说这两条直线平行.
例2图9-37表示一个正方体.
(1)哪些棱与AB是异面直线?
(2)求AB与CC的夹角的度数;
(3)哪些棱与AA垂直?
解
课内练习3
1.在下列各图中,分别以O为顶点,画出异面直线l、m所成的角.
2.设l、m、n为三条空间直线,其中l∥m,ln,则m、n的关系如何?
3.设l、m、n为三条空间直线,且l^m=n^m=45,能否得出l∥n的结论?
你能举出反例吗?
小结:
作业:
2013年5月20日第14周
9.3直线和平面的位置关系
认识和理解直线和平面平行、垂直的有关结论
掌握三垂线定理的应用
直线和平面平行的判定和性质
直线和平面垂直的判定和性质
三垂线定理及其逆定理
直线和平面平行、垂直的有关结论
三垂线定理的应用
1.直线和平面的位置关系
我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体.我们考察AB所在的直线,它在面ABCD上;
与面BCC1B1有一个公共点B;
与面DCC1D1没有公共点.这个实例告诉我们:
空间直线l与平面的位置关系只有三种:
(1)l与有无数个公共点——直线l在平面内;
(2)l与没有公共点——直线l平行于平面;
(3)l与只有一个公共点——直线l与平面相交.
图5-39表示了这三种位置关系.
1.举出直线和平面的三种位置关系的实例.
2.回答下列问题:
(1)能否说直线l与平面有两个交点A、B?
(2)如果直线l在平面外,l是否一定与平行?
(3)如图,因为l与没有交点,是否能说l∥?
(4)如果直线l不平行于平面,l必与相交吗?
2.直线和平面平行
(1)直线和平面平行的判定
要判断一条直线和一个平面是否认平行,就要将直线和平面无限延伸,看有无公共点,这是无法做到的,我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行.
我们看图5-40
(1),这是一扇门,门框左右两条边缘是直线a、b.把墙面视为一个平面,当门关着时,直线a、b同在平面上,
且a∥b.开门时,a离开了平面,但仍保持与b平行,而且a与平面也是平行的(如图5-40
(2)).
这就给出了一个判定直线与平面平行的方法:
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
如图5-41中所示,如果a∥b,b,则a∥。
根据这个判定方法,为了证明一条直线和一个平面平行,只要在这个平面内找出一条直线