正弦与余弦定理练习题及答案.docx

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正弦与余弦定理练习题及答案

国庆作业

（一）

正弦定理和余弦定理练习题

一.选择题

1.在△AＢＣ中，∠Ａ＝4５°,∠Ｂ=60°，a=2，则b等于（　）

A.B.　　　　　C.　Ｄ．2

2.在△ABC中,已知ａ=8,B=60°，C=7５°，则b等于（　　）

Ａ．4　　　B.４　Ｃ.4　D.

3.在△ＡBC中，角Ａ、Ｂ、C的对边分别为ａ、b、c，A＝6０°，ａ=4,ｂ=4，则角Ｂ为（　）

A.4５°或1３5°　Ｂ．１35°C．45°Ｄ．以上答案都不对

4.在△ＡBC中，ａ∶b∶c＝1∶5∶6，则sinＡ∶sinB∶sｉnC等于（）

A.1∶5∶6　B．６∶5∶１C．6∶１∶5　　D．不确定

5.在△ＡBＣ中,ａ，ｂ,c分别是角A,Ｂ，C所对的边，若A＝105°,B=45°,b＝，则ｃ＝（　　）

A.１B.　　Ｃ.2　　D.

6．在△ABＣ中，若=，则△ABC是（　）

A.等腰三角形　B.等边三角形　C．直角三角形　D.等腰三角形或直角三角形

7．已知△ＡＢC中,AB=,AC＝1，∠Ｂ=30°，则△ABC的面积为（　）

A.　　B.　　Ｃ.或　　　　　D.或

8.△AＢC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c=，b=，B=120°，则ａ等于（　　）

Ａ.　Ｂ．2　　　C.　　　　D.

二、填空题

9.在△ABC中，角Ａ、B、C所对的边分别为ａ、b、c，若a＝1，ｃ＝，Ｃ＝,则A=______＿_.

10.在△ABＣ中，已知a=,ｂ=４，A＝3０°，则sinＢ=_＿___＿＿＿．

1１.在△ＡBC中，已知∠A=3０°,∠B=１２0°，b=12，则ａ＋ｃ=______＿_.

１２．在△ABC中,a=2bcｏsC,则△ABC的形状为_＿______．

13．在△AＢＣ中，A＝６0°,a=6,b＝12，S△ＡBC=18,则＝__＿__＿_＿，c＝_＿____＿＿.

14.已知三角形ABＣ中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1，则=__＿_＿___.

１5.在△ABC中，已知a=3,cosＣ=,S△ABＣ＝4,则b＝__＿___＿_．

１6.在△ABC中,b＝4，C=3０°,c＝2，则此三角形有＿_______组解.

１7.如图所示,货轮在海上以４０kｍ／h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为14０°的方向航行,为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为11０°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔Ａ的方位角是6５°,则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少?

　　　　　　　　　　（１7题）

三、简答题

18．在△ＡBC中,ａ、b、c分别为角A、B、C的对边，若ａ＝2，ｓincos=,ｓiｎBsｉnC=cos2，求Ａ、Ｂ及b、c.

19．（20０9年高考四川卷）在△ＡBC中，A、Ｂ为锐角,角A、B、C所对应的边分别为a、b、ｃ，且cｏｓ2A＝，ｓin　B＝.（１）求A＋B的值；（２）若a-ｂ=-1,求a，ｂ，c的值.

２0．△ＡBＣ中，ａb＝60，siｎ　B＝sｉnC,△AＢC的面积为15，求边b的长．

21.已知△ABC的周长为+１，且ｓinA＋sｉnB＝sｉｎＣ.

（1）求边ＡB的长;

（2）若△AＢＣ的面积为sin　C,求角Ｃ的度数.

２3．在△ABC中,BＣ=，ＡC＝3,sinC=2sinA．

（1）求AB的值；

（2）求sin（2A-）的值．

余弦定理练习题

源网

1.在△ＡBＣ中,如果ＢC＝6，AＢ＝4，cosB=，那么AC等于（　　）

Ａ．6　Ｂ．2　　　　C.3　　D．4

2.在△AＢC中，a=2，b=-1，C=３０°,则c等于（　）

Ａ.　　　　B.　　　　　Ｃ．　　　　　D．2

３．在△AＢＣ中,ａ２＝ｂ2＋c2＋ｂc，则∠Ａ等于（　）

A．6０°　　B.45°　　　　　　C.１20°　Ｄ.150°

４．在△ABC中，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别为a、ｂ、ｃ,若（ａ2+c2－b２）ｔａnB＝ａc，则∠B的值为（　）

Ａ．B.　　C.或　D.或

5.在△ＡBC中，a、ｂ、c分别是A、Ｂ、C的对边,则acｏsB+ｂcoｓＡ等于（　）

A.ａ　　B.b　C．c　　　　D.以上均不对

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（　）

A．锐角三角形　Ｂ.直角三角形　　C．钝角三角形Ｄ.由增加的长度决定

7.已知锐角三角形ABC中，||=4,||＝１,△ＡBC的面积为,则·的值为（）

Ａ.2B．-2　　　　　　C.４　　　D．－4

8.在△ABC中,b＝,c＝３,B=3０°，则ａ为（）

A．　　B.2　　　　C．或２　　　D.2

9．已知△ＡBC的三个内角满足2B=Ａ+Ｃ，且AB=1，BC＝4,则边ＢC上的中线AＤ的长为_＿___＿_＿.

1０.△ABC中,sｉｎＡ∶sｉnB∶siｎC=（－1）∶（+1）∶,求最大角的度数.

１１．已知a、ｂ、c是△ABC的三边,S是△ABC的面积,若a＝4，ｂ=５，Ｓ＝５，则边ｃ的值为＿_______.

1２．在△ABＣ中，ｓiｎ　Ａ∶sinB∶ｓinC=２∶3∶4，则ｃosA∶coｓB∶cｏsＣ=____＿___．

1３.在△ABC中，a=3,cｏsC＝,S△ABC＝4，则ｂ=_＿______.

1４．已知△ＡBC的三边长分别为AB=7，BC=5，AC=６,则·的值为_＿_＿___＿．

1５.已知△ABＣ的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C=＿＿______.

1６.（２011年广州调研）三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为__＿_____.

17．在△AＢC中,BC=a，ＡC＝ｂ，a,b是方程x2－2x+2＝0的两根,且2cos（Ａ＋B）＝1，求AB的长.

１8．已知△ABC的周长为+1，且sｉnＡ+sinＢ＝ｓｉｎC.

（1）求边AＢ的长；

（2）若△ABC的面积为sｉｎC，求角C的度数.

19.在△ABC中，BC=，AC=3，ｓiｎC=2ｓinA.

（1）求AＢ的值；

（2）求sin（2A-）的值.

２0.在△ABＣ中,已知（a+ｂ＋c）（a+b－c）=３ａb，且２cosAsｉnB=siｎC,确定△ABC的形状．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正弦定理

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在△ABC中，∠A＝４5°,∠B=60°，a=2,则b等于（）

Ａ.　　　　B.　　　C.　　Ｄ．2

解析：

选A．应用正弦定理得:

＝,求得b=＝．

2．在△AＢC中，已知a＝8，B=60°，C=7５°，则b等于（　　）

A．4　　　B.4　　C．4　　　D.

解析:

选C．Ａ=４5°，由正弦定理得b==4.

３．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=6０°，a＝４,b=４,则角B为（　）

A．45°或135°　B.1３５°　　　Ｃ．45°　　D．以上答案都不对

解析:

选C.由正弦定理=得：

sｉnＢ＝=，又∵ａ>ｂ，∴B＜６0°,∴B=45°.

4．在△ABC中,ａ∶ｂ∶ｃ=1∶５∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（）

A．1∶5∶6　　　　　B.6∶5∶1

Ｃ．6∶1∶5　ﻩD.不确定

解析:

选A.由正弦定理知ｓiｎA∶ｓｉnB∶ｓinC＝a∶b∶ｃ＝1∶5∶６.

５.在△ABC中,ａ，b,ｃ分别是角Ａ，B，C所对的边，若A=１05°,Ｂ＝４5°,b=，则c=（　　）

Ａ.１　B.　　　　　　　Ｃ.2　　ﻩD.

解析:

选A.C＝180°-105°-4５°＝30°，由=得ｃ＝＝1.

６．在△ABC中，若=,则△ＡBC是（　）

A.等腰三角形　B.等边三角形　Ｃ.直角三角形　D．等腰三角形或直角三角形

解析：

选D．∵=，∴＝,

ｓｉnAcｏsA=ｓinＢcosB，∴siｎ2Ａ＝sｉn2B

即2A＝2B或2A＋2Ｂ＝π,即A=Ｂ,或A＋B=.

7．已知△AＢＣ中,AB＝,ＡＣ=1，∠B＝30°，则△ABC的面积为（　　）

A.B.

C．或　　ﻩＤ.或

解析:

选D．=，求出sinＣ=,∵ＡB＞AC，

∴∠C有两解，即∠C=６０°或120°,∴∠Ａ=90°或30°.

再由S△ABC＝ＡＢ·AＣｓinA可求面积.

8.△ABC的内角A、Ｂ、C的对边分别为a、b、ｃ.若c＝，b＝,B＝120°，则a等于（）

Ａ．　ﻩＢ．2

Ｃ.D．

解析:

选D．由正弦定理得＝,

∴siｎＣ=.

又∵C为锐角,则C＝３0°，∴A＝３0°，

△ＡBC为等腰三角形，a=c=.

９．在△ABC中,角A、Ｂ、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c＝，Ｃ＝，则A=＿__＿_＿＿＿.

解析:

由正弦定理得:

=，

所以sｉnA＝=.

又∵a＜c,∴A<Ｃ＝，∴Ａ=．

答案:

１0.在△ABC中,已知a=，b＝4,A＝30°,则ｓｉnB＝_＿＿____＿.

解析:

由正弦定理得＝

⇒sinB＝==.

答案:

11．在△ＡＢC中,已知∠Ａ＝3０°，∠B＝１20°,b=１2,则ａ＋c=_＿__＿_＿_．

解析：

C=180°－１2０°-30°＝30°,∴a=c，

由＝得,a==4，

∴a+c=8.

答案:

８

12．在△AＢC中,a＝２bcosＣ，则△ＡBＣ的形状为＿______＿．

解析：

由正弦定理，得a＝２Ｒ·siｎA，b=2R·sinＢ,

代入式子a＝２bｃosC，得

２RsiｎＡ=２·2Ｒ·siｎＢ·coｓC，

所以ｓinA＝2sinB·cosＣ，

即sｉnB·cｏsC＋cosＢ·ｓiｎC=２sｉnB·cosC,

化简,整理,得sｉn（B－C）=0.

∵０°

∴-1８0°＜B-C<１８０°,

∴B－C=0°，B＝Ｃ.

答案:

等腰三角形

１3．在△ＡBC中，A=６0°,a=6，ｂ＝１2，S△ABC＝1８,则=_＿＿___＿_，ｃ＝__＿_____.

解析：

由正弦定理得＝==12，又S△AＢC＝ｂｃsｉnA,∴×１2×ｓin60°×c=１８，

∴c=6.

答案:

12　6

14．已知△ＡBC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,a=1，则=___＿_＿__.

解析:

由∠Ａ∶∠B∶∠C＝1∶2∶３得,∠A＝３0°,∠B=6０°，∠Ｃ=90°，

∴2Ｒ＝=＝２，

又∵a=２Ｒsin　A，b=２RsinB，c=2RsinC,

∴=＝2R＝2．

答案:

2

1５．在△ABＣ中,已知ａ=3,coｓC=,S△ABＣ＝4，则ｂ=_＿____＿_.

解析：

依题意,siｎＣ＝,S△ＡBC=ａｂsinC＝４,

解得b=2.

答案：

2

16.在△ＡBＣ中,ｂ=4,Ｃ=30°，ｃ=2,则此三角形有________组解.

解析：

∵bsinC＝４×＝2且c＝２,

∴c

答案:

０

17．如图所示,货轮在海上以40km／h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为1４0°的方向航行,为了确定船位,船在Ｂ点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时后船到达C点，观