解三角形总结+题+解析Word下载.docx
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b·
c·
cosA
2.b^2=a^2+c^2-2·
a·
cosB
3.c^2=a^2+b^2-2·
cosC
余弦定理的如下变形常在解题中用到
1.cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·
b）
2.cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·
c）
3.cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·
c）
1.SSA
2.SAS
3.SSS
3．余弦定理和正弦定理的面积公式
S¡
÷
ABC=absinC=bcsinA=acsinB
（常用类型：
已知三角形两边及其夹角）
判断解的个数
判断三角形的形状
有两种途径：
（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解
（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解
三．解三角形的实际应用
测量中相关的名称术语
仰角：
视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：
视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角
方向角：
从指定方向线到目标方向的水平角
测距离的应用
测高的应用
（一）已知两角及一边解三角形
例1 已知在?
ABC中，c＝10，A＝45°
，C＝30°
，求a、b和B.
∠B=180°
-30°
-45°
=105°
a=10sin45°
/sin30°
=10√2
sin105°
=sin（60+45）=√2/2（√3/2+1/2）=（√6+√2）/4
1/sin105=√6-√2
b=10sin45°
/sin105°
=5√2（√6-√2）=10（√3-1）
（二）已知两边和其中一边对角解三角形
例2 在¡
ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2¡
Ì
3，b=¡
6，A=45¡
ã
，求边长C
由余弦定理，得
b2+c2-2bccosA-a2=0
6+c2-2√3c-12=0
c2-2√3c-6=0
根据求根公式，得
c=√3±
3
又c>
所以c=3+√3
（三）已知两边及夹角，解三角形
例3 ?
ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°
，求角A，角C和边a.
解：
由余弦定理
得
¡
à
a2-9a+18=0，得a=3或6
当a=3时，A=30¡
，
C=120¡
当a=6时，由正弦定理
A=90¡
C=60¡
。
例四：
在△ABC中，若∠B=30°
AB=2,AC=2,则△ABC的面积是
由，
或120¡
当C=60¡
时，A=90¡
，S¡
ABC=；
当C=120¡
时，A=30¡
ABC=AB¡
¤
ACsinA。
例五.判断三角形的形状
（1）正弦定理判断
在?
ABC中，若a2tanB＝b2tanA，试判断?
ABC的形状．
sin^2A*sinB/cosB=sin^2B*sinA/cosA.
∵sinA≠0,cosB≠0,∴等式两边同约去sinA*sinB公因式。
∴sinA/cosB=sinB/cosA.
sinAcosA=sinBcosB.
∵sinAcosA=（1/2）*（2sinAcosA）=（1/2）sin2A.【2sinAcosA=sin2A（公式）】
同理，sinBsinB=（1/2）*2sinBcosB=（1/2）sin2B.
∴（1/2）sin2A=（1/2）sin2B.【两边约去（1/2）]】后得：
∴sin2A=sin2B.
2A=2B.
（1）；
sin2A=sin（180°
-2B）
（2）【同名三角函数值相等，其角度相等，或互补】
由
（1）式得：
A=B.
∴△ABC为等腰三角形；
由
（2）式得：
2A=180-2B,2A+2B=180°
A+B=90°
.
∴△ABC为直角三角形。
（2）余弦定理判断
ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
由正弦定理得sin2C/c2=sin2B/b2得b2sin2C=c2sin2B
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
ß
sinBsinC¡
Ù
0,¡
sinBsinC=cosBcosC,
即cos（B+C）=0,¡
B+C=90¡
A=90¡
故¡
ABC是直角三角形.
例六判断解得个数
不解三角形，判断下列三角形的解的个数：
（1）a=5,b=4,A=120度
有一解
（2）a=7,b=14,A=150度
无解
（3）a=9,b=10,A=60度
有两解
（4）c=50,b=72,C=135度
例七
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°
方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ≤10t+60.
由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2-2PQ·
POcos∠OPQ.由于PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos（θ-45°
）=cosθcos45°
+sinθsin45°
=.
=202t2-9600t+3002.
∴202t2-9600t+3002≤（10t+60）2.
即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24.
故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
例八。
某巡逻艇在A处发现北偏东45°
相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°
的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？
需要多少时间才追赶上该走私船？
例九。
如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°
，∠BCD=45°
，∠ADB=60°
，∠ADC=30°
，则AB的距离是（D）
A.20B.20C.40D.20
例十如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°
，则AD的长度等于______。
由A向BC作垂线，垂足为E，
∵AB=AC
∴BE=12BC=3
∵AB=2
∴cosB=BEAB=32
∴B=30°
∴AE=BE?
tan30°
=1
∵∠ADC=45°
∴AD=AEsin∠ADC=2
故答案为：
2
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