1、bccosA 2. b2 = a2 + c2 - 2acosB 3. c2 = a2 + b2 - 2cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a2 + b2 - c2) / (2b) 2. cosB = (a2 + c2 - b2) / (2c) 3. cosA = (c2 + b2 - a2) / (2c)1.SSA2.SAS3.SSS3余弦定理和正弦定理的面积公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB(常用类型:已知三角形两边及其夹角)判断解的个数判断三角形的形状有两种途径:(1)将已知的条件统一化成边的关系,用代数求和法求解(2)将已知的条件统一化成角
2、的关系,用三角函数法求解 三解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角:视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角: 视线在水平线以下时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫俯角方向角:从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在?ABC中,c10,A45,C30,求a、b和B.B=180-30-45=105a=10sin45/sin30=102sin105=sin(60+45)=2/2(3/2+1/2)=(6+2)/41/sin105=6-2b=10sin45/sin105=52(6-2)=10(3-
3、1)(二)已知两边和其中一边对角解三角形例2在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a=23,b=6,A=45,求边长C由余弦定理,得b2+c2-2bccosA-a2=06+c2-23c-12=0c2-23c-6=0根据求根公式,得c=33又c所以c=3+3(三)已知两边及夹角,解三角形例3?ABC中,已知b3,c3,B30,求角A,角C和边a.解:由余弦定理得a2-9a+18=0,得a=3或6当a=3时,A=30,C=120当a=6时,由正弦定理A=90C=60。例四:在ABC中,若B=30, AB=2, AC=2, 则ABC的面积是由,或120当C=60时,A=90,SAB
4、C=;当C=120时,A=30ABC=ABACsinA。例五.判断三角形的形状(1)正弦定理判断在?ABC中,若a2tanBb2tanA,试判断?ABC的形状sin2A*sinB/cosB=sin2B*sinA/cosA.sinA0,cosB0,等式两边同约去sinA*sinB公因式。sinA/cosB=sinB/cosA.sinAcosA=sinBcosB.sinAcosA=(1/2)*(2sinAcosA)=(1/2)sin2A.【2sinAcosA=sin2A(公式)】同理,sinBsinB=(1/2)*2sinBcosB=(1/2)sin2B.(1/2)sin2A=(1/2)sin2B
5、. 【两边约去(1/2)】后得:sin2A=sin2B.2A=2B.(1);sin2A=sin(180-2B) (2) 【同名三角函数值相等,其角度相等,或互补】由(1)式得: A=B.ABC为等腰三角形;由(2)式得:2A=180-2B,2A+2B=180,A+B=90.ABC为直角三角形。(2)余弦定理判断ABC中,若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC,试判断三角形的形状由正弦定理得sin2C/c2=sin2B/b2得b2sin2C=c2sin2Bsin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B
6、 + C)=0, B + C=90, A=90,故ABC是直角三角形.例六 判断解得个数不解三角形,判断下列三角形的解的个数:(1)a=5,b=4,A=120度有一解(2)a=7,b=14,A=150度无解(3)a=9,b=10,A=60度有两解(4)c=50,b=72,C=135度例七在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处,并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ10t
7、+60.由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2-2PQPO cosOPQ.由于PO=300,PQ=20t,cosOPQ=cos(-45)=coscos45+sinsin45=.=202t2-9600t+3002.202t2-9600t+3002(10t+60)2.即t2-36t+2880,解得12t24.故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.例八。某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?例九。如图,要测量河对岸A、B两点间的距离,今沿河岸选取相距40米的C、D两点,测得ACB=60,BCD=45,ADB=60,ADC=30,则AB的距离是( D )A.20 B.20 C.40 D.20例十如图,ABC中,AB=AC=2,BC=,点D 在BC边上,ADC=45,则AD的长度等于_。由A向BC作垂线,垂足为E,AB=ACBE= 1 2 BC= 3 AB=2cosB= BE AB = 3 2B=30AE=BE?tan30=1ADC=45AD= AE sinADC = 2 故答案为: 2
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