人教A版版高中数学必修五课时作业含答案19Word格式文档下载.docx

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∴＝1＋（n－1）·

2＝2n－1，∴an＝.

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋），则an等于（　　）

A．2＋lnnB．2＋（n－1）lnn

C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn

答案　A

4．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于（　　）

A．2n－1B．2n－1－1

C．2n＋1D．4n－1

5．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：

第1行

1

第2行

2　　　3

第3行

4　　　5　　　6　　　7

……

则第8行中的第5个数是（　　）

A．68B．132

C．133D．260

解析　前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.

6．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点（，）在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为__________．

答案　an＝4n－2

7．数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝（－1）n，（n∈N*），则bn＝__________.

答案　

8．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________.

答案　n

解析　an＝·

·

…·

a1

＝·

＝n.

9．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________.

答案　2×

3n－1－1

解析　设an＋1＋A＝3（an＋A），化简得an＋1＝3an＋2A.

又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2.则A＝1.

∴an＋1＋1＝3（an＋1），即＝3.

∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.

则an＋1＝2×

3n－1，即an＝2×

3n－1－1.

10．（2013·

新课标全国Ⅰ）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.

答案　（－2）n－1

解析　∵Sn＝an＋，①

∴当n≥2时，Sn－1＝an－1＋.②

①－②，得an＝an－an－1，即＝－2.

∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列．

∴an＝（－2）n－1.

11．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．

解析　在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；

令n＝2，得a3－a2＝4，…，an－an－1＝2（n－1）．

把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2（n－1）＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.∴＝＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5＜＜6，∴当n＝5时，＝5－1＋＝，当n＝6时，＝6－1＋＝＝，∵＞，∴的最小值是.

12．（2012·

湖北）已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.

（1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

解析　

（1）设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.

由题意得

解得或

所以由等差数列通项公式，可得

an＝2－3（n－1）＝－3n＋5或an＝－4＋3（n－1）＝3n－7.

故an＝－3n＋5或an＝3n－7.

（2）当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；

当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|an|＝|3n－7|＝

记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n＝1时，S1＝|a1|＝4；

当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；

当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋（3×

3－7）＋（3×

4－7）＋…＋（3n－7）

＝5＋＝n2－n＋10.

当n＝2时，满足此式．

综上，Sn＝

►重点班·

选作题

13．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.

解析　∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－.

∴Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.

∴an＝an－1＋（）n－1.

∴－＝2.∴2nan－2n－1an－1＝2.

∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.

∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，

∴a1＝1.∴2nan＝2＋2（n－1）＝2n.

∴an＝n·

（）n－1.

∴Sn＝4－an－＝4－n·

－＝4－.

14．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：

原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲的面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．

（1）设全区面积为1,2002年底绿洲的面积为a1＝，经过1年（指2003年底）绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an＋1，求证：

数列{an－}为等比数列；

（2）问：

至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%（年数取正整数）．

解析　

（1）证明：

因为2002年底绿洲面积为a1＝，所以2002年底的沙漠面积为1－a1＝，经过n－1年后绿洲面积为an，沙漠面积为1－an，由题意得，再过一年，即经过n年后，绿洲面积为an＋1＝（1－an）×

16%＋an（1－4%），即an＋1＝an＋.

所以an＋1－＝（an－）．

又因为a1－＝－＝－，

所以数列{an－}是以为公比，－为首项的等比数列．

（2）由

（1）知，an－＝（－）×

（）n－1，所以an＝－·

设经过n年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即an＋1>

60%.

所以－·

（）n>

，所以（）n<

.

验证n＝1,2,3,4时，（）n>

当n＝5时，（）5＝<

，

故至少需要5年的努力，全区的绿洲面积超过60%.

例1　已知数列{an}满足关系a1＝，且an＋1＝an－3，求an.

【解析】　方法一　（归纳法）∵a1＝，an＋1＝an－3，

∴a2＝a1－3＝－3，

a3＝a2－3＝－－3，

a4＝a3－3＝－－－3，

…

猜想：

an＝－－－…－－3

＝－3

＝－3×

＝（＋6）－6.

方法二　（迭代法）由an＋1＝an－3，得an＝an－1－3，…

∴an＋1＝an－3＝－3

＝an－1－－3

＝－－3

＝an－2－－－3

＝…

＝a1－－－…－－3

＝－

∴an＝（＋6）－6.

方法三　（构造法）∵an＋1＝an－3，　①

∴an＝an－1－3.　②

①－②得an＋1－an＝（an－an－1）．

∴{an＋1－an}是以a2－a1＝－a1＝－a1－3＝－－3为首项，公比为q＝的等比数列．

∴an＋1－an＝·

n－1.

∴an－an－1＝·

n－2.

∴an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝＋

＝＋·

＝（＋6）－6（n∈N*）．

方法四　由an＋1＝an－3，把此式两边同加上6，得

an＋1＋6＝（an＋6）．

可见数列{an＋6}是首项为a1＋6＝＋6，公比为的等比数列．

∴an＋6＝（＋6）n－1，∴an＝（＋6）－6.

【讲评】　以上我们探讨了此类问题的四种解法，每种解法都以等比数列为基础，采用不同的思维方法使问题得以解决，建议重点掌握方法四！