浙江专版高中数学第二章圆锥曲线与方程24抛物线学案新人教A版选修21Word下载.docx

浙江专版高中数学第二章圆锥曲线与方程24抛物线学案新人教A版选修21Word下载.docx

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x＝

x2＝2py（p>

y＝－

x2＝－2py（p>

y＝

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线（　　）

（2）抛物线y2＝20x的焦点坐标是（0,5）（　　）

答案：

（1）×

（2）×

2．抛物线x＝－2y2的准线方程是（　　）

A．y＝　　　　　　　　B．y＝

C．x＝D．x＝

D

3．已知动点P到定点（2,0）的距离和它到直线l：

x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．

y2＝8x

求抛物线的标准方程

[典例]　求适合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）过点M（－6,6）；

（2）焦点F在直线l：

3x－2y－6＝0上．

[解]　

（1）由于点M（－6,6）在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上．

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为y2＝－2px（p>

0），

将点M（－6,6）代入，可得36＝－2p×

（－6），

∴p＝3．

∴抛物线的方程为y2＝－6x．

若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py（p>

将点M（－6,6）代入可得，36＝2p×

6，

∴p＝3，

∴抛物线的方程为x2＝6y．

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．

（2）①∵直线l与x轴的交点为（2,0），

∴抛物线的焦点是F（2,0），

∴＝2，∴p＝4，

∴抛物线的标准方程是y2＝8x．

②∵直线l与y轴的交点为（0，－3），

即抛物线的焦点是F（0，－3），

∴＝3，∴p＝6，

∴抛物线的标准方程是x2＝－12y．

综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．

求抛物线的标准方程的关键与方法

（1）关键：

确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．

（2）方法：

①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．

②直接根据定义求p，最后写标准方程．

③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．　　　　　　

[活学活用]

　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2＝－14x；

（2）5x2－2y＝0；

（3）y2＝ax（a>

0）．

解：

（1）因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝．

（2）抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－．

（3）由a>

0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－．

抛物线定义的应用

[典例]　

（1）已知抛物线C：

y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．4D．8

（2）（浙江高考）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

A．

B．

C．

D．

[解析]　

（1）由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．

（2）由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由抛物线方程知焦点F（1,0），作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1．在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝．

[答案]　

（1）A　

（2）A

抛物线定义的两种应用

（1）实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．

（2）解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　　　　

1．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．

解析：

选C　根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：

（|AF|＋|BF|）－＝－＝．

2．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1为（　　）

A．B．C．D．

选C　由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F．又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×

π＝，即∠A1FB1＝．

抛物线的实际应用

[典例]　某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：

该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？

为什么？

[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．

因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，

所以A（10，－2）．

设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py（p>

则102＝－2p×

（－2），所以p＝25，

所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2．

若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，

y＝－×

82＝－1．28，

即船体在x＝±

8之间通过，B（8，－1．28），此时B点距水面6＋（－1．28）＝4．72（米）．

而船体高为5米，所以无法通行．

又因为5－4．72＝0．28（米），0．28÷

0．04＝7，

150×

7＝1050（吨），

所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1050吨，而船最多还能装1000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．

求抛物线实际应用的五个步骤

（1）建系：

建立适当的坐标系；

（2）假设：

设出合适的抛物线标准方程；

（3）计算：

通过计算求出抛物线的标准方程；

（4）求解：

求出需要求出的量；

（5）还原：

还原到实际问题中，从而解决实际问题．　　　　

　如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点（2，－2）在抛物线上，代入可得p＝1，

所以x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．

2

层级一　学业水平达标

1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为（　　）

A．3　　　　　　　　　　B．6

C．D．

选C　将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝．故到焦点的距离最小值为．

2．已知抛物线y2＝2px（p>

0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（　　）

A．B．1

C．2D．4

选C　∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆（x－3）2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2．

3．已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（　　）

A．B．

C．3D．2

选C　过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．

4．设圆C与圆x2＋（y－3）2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为（　　）

A．抛物线B．双曲线

C．椭圆D．圆

选A　由题意知，圆C的圆心到点（0,3）的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点（0,3）的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．

5．已知双曲线C1：

－＝1（a>

0，b>

0）的离心率为2．若抛物线C2：

0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（　　）

A．x2＝yB．x2＝y

C．x2＝8yD．x2＝16y

选D　双曲线的渐近线方程为y＝±

x，由于＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±

x．抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．

6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．

方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点（m,0）．

（m,0）

7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．

设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，

由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，

∴点M到y轴的距离为9.

9

8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2,1）．

其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．（要求填写适合条件的序号）

抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；

设M（1，y0）是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；

由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为（2,1）时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．

②④

9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．

法一：

如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py（p>

0），则焦点F，准线l：

y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4．

所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．

由m2＝－8×

（－3）＝24，得m＝±

2．

法二：

设所求抛物线方程为x2＝－2py（p>

0），则焦点为F．

∵M（m，－3）在抛物线上，且|MF|＝5，

故解得

∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±

2，准线方程为y＝2．

10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．

（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；

（2）若行车道总宽度AB为7米，