第 1 讲 三角形的初步知识Word文档格式.docx

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④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能

5.如图,是平面上的6个点,则（）

A.180°

B.360°

C.540°

D.720°

6.如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为，且，则_____.

7.

（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°

，∠BPC的度数为多少；

（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°

，则∠BPC的度数为多少；

（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（用含α的代数式表示）

8.如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P.

（1）当∠A=70°

时，求∠BPC的度数；

（2）当∠A=112°

（3）当∠A=时，求∠BPC的度数.

【典型例题】

例1如图

（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．

（1）若∠C=80°

，∠B=50°

，求∠DAE的度数．

（2）若，试说明．

（3）如图

（2）若将点A在AD上移动到A´

处，A´

E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´

E，

则

（2）中的结论还正确吗？

为什么？

解析:

（1）∠DAE=180°

∠ADC∠AED=15°

．

（2）∠DAE=180°

∠ADC∠AED=180°

∠ADC90°

=90°

∠ADC

180°

∠C∠DAC=90°

∠C∠BAC

∠C180°

∠B∠C=（∠C∠B）．

（3）

（2）中的结论仍正确．证明过程同

（2）.

例2如图，△ABC中，∠A=50°

，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．

（1）求∠P的度数；

（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？

（3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？

（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？

简答:

（1）∠BPC=180°

65°

=115°

；

（2）∠BPC=∠A+90°

（3）

∠BPC=90°

∠A；

（4）∠BPC=∠A．

例3如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线.

（1）∠ABE=15°

，∠BAD35°

，求∠BED的度数；

（2）若△ABC的面积为60，BD5，则点E到BC边的距离为多少？

解析:

（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=50°

．

（2）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，

∴；

∵BD=5，∴EF==6，即点E到BC边的距离为6．

例4如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度向正西方向运动，

点B以每秒y个单位长度向正北方向运动．

（1）若，试分别求出1秒钟后，求OA、OB两点的长度；

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：

点A、B在运动

的过程中，∠P的大小是否会发生变化？

若不发生变化，请求出其值；

若发生变化，请说明理由；

（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、

∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？

请写出你的结论并说明理由．

（1）解方程组：

，∴OA=1，OB=2；

（2）不发生变化.∠P=180°

∠PAB∠PBA=180°

∠EAB+∠FBA

=180°

∠ABO+90°

+∠BAO+90°

=45°

（3）作GM⊥BF于点M．由已知有：

∠AGH=90°

∠EAC=90°

∠BAC

=∠BAC=∠BGC=∠BGM∠CGM=90°

∠ABC90°

∠ACF=∠ACF-

∠ABC=∠BAC，∴∠AGH=∠BGC．

【独立尝试】

1.已知三角形三条边的长度为，化简:

=.

2.如图，△ABC中，，，是中线，则△ABD与△ACD的周长之差.

3.

第12题

如图，矩形ABCD中，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，则∠ANB∠MNC=.

4.在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC与点M，AC的垂直平分线交BC于点N，则△AMN的周长=.

5.在△ABC中，∠ABC=12°

，∠ACB=132°

，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则BMCN（填“”）.

6.如图，的大小关系是（）

A．B．

C．D．

7.如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（）

A．△ABC先变成直角三角形，再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

B．△ABC变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

C．△ABC先变成直角三角形，再变成锐角三角形，接着又变为钝角三角形

D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形

8.现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（）

A．3B．4或5C．6或7D．8

9.已知三角形的三边的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有（）

A.21个　　　B.28个　　　C.49个　　　D.54个

10.如图，G是△AFE两外角平分线的交点，P是△ABC的两外角平分线的交点，F，C在AN上，又B，E在AM上；

如果∠FGE=66°

，那么∠P=_度．

11.已知三角形的边长为.

（1）若，试说明三角形的形状；

（2）若，试说明三角形的形状；

（3）说明的符号.

12.如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？

13.

（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°

，求∠ABC+∠ACB，∠XBC+∠XCB．

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；

若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．

【拓展提升】

1.△ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个△A′B′C′，则△A′B′C′（　）

A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形

C．一定是锐角三角形D．一定是等腰三角形

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠BAC=30°

，∠ACB

的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，则

∠CEB是.

3.设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．

4.探索：

在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，求S1（用含a的代数式表示）

（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，求S2（用含a的代数式表示）

（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，求S3（用含a的代数式表示），并运用上述

（2）的结论写出理由．

发现：

像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的几倍？

应用：

去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？

5.将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角

形，记为三边的长分别为，且满足的一个三角形．

（1）就n=4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的．

（2）有人根据

（1）中的结论，猜想：

当铅丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，对应的个数一定是，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n=12时所有的，并回答的个数．

（3）试将n=12时所有满足题意的，按照至少两种不同的标准进行分类．

【挑战探索】

问题：

已知△ABC中，∠BAC=100°

（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；

（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；

（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°

时，是几等分线的交线所成的角．

参考答案

【热身训练】

1.B2.A3.C4.C5.B6.2

7.

（1）∠A=50°

，∠BPC=∠ABD+∠BEC=40°

+90°

=130°

（2）∠BPC=∠A=50°

（3）当∠A=α是锐角时，

①△ABC是锐角三角形时，根据

（1）∠BPC=90°

+（90°

∠A）=180°

α；

②△ABC是钝角三角形时，根据

（2）∠BPC=∠A=α；

当∠A是直角时，∠BPC=90°

，当∠A是钝角时，∠BPC=180°

α．

8.

（1）；

时，∠BPC=；

（3）当∠A=时，∠BPC=.

1.2.13.90°

4.9

5.提示：

通过角度计算发现，∠BCM=∠BMC，∠BNC=∠ABC，因此，BM=BC=CN；

6.B7.D8.A9.A10.∠P=∠FGE=66°

11.

（1），得等腰三角