高中数学 第一章 解三角形复习教案 新人教B版必修课件Word下载.docx

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1本章我们学习了哪些知识内容？

请画出本章的知识结构图.

2解斜三角形要用到正弦定理、余弦定理，那么正弦定理、余弦定理都有哪些应用？

3在解三角形时应用两个定理要注意些什么问题？

若求一个三角形的角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，怎样选择较好？

4本章中解三角形的知识主要应用于怎样的一些问题？

5总结从初中到高中测量河流宽度和物体高度的方法.

活动：

教师引导学生画出本章知识框图，教师打出课件演示：

从图中我们很清晰地看出本章我们学习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形，由于本章内容实践性很强，之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用．教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下：

正弦定理、余弦定理：

＝＝，

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝c2＋a2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

正弦定理、余弦定理的应用：

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．

①已知两角和任一边，求其他两边和一角．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．

①已知三边，求三个角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

在求解一个三角形时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，要尽量选择运算量较小，不产生讨论的方法求解．若求边，尽量用正弦定理；

若求角，尽量用余弦定理．

除了正弦定理、余弦定理外，我们还学习了三角形面积公式S＝bcsinA＝acsinB＝absinC，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积．

教师利用多媒体投影演示课件如下：

解斜三角形时可用的

定理和公式

适用类型

备注

余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝a2＋c2－2accosB

c2＝b2＋a2－2bacosC

（1）已知三边

（2）已知两边及其夹角

类型

（1）

（2）有解时只有一解

正弦定理

＝＝＝2R

（3）已知两角和一边

（4）已知两边及其中一边的对角

类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有两解、一解和无解

三角形面积公式

S＝bcsinA

　＝acsinB

　＝absinC

（5）已知两边及其夹角

教师点拨学生，以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体．实际上，正弦定理只是初中“三角形中大角对大边，小角对小边”的边角关系的量化．余弦定理是初中“已知两边及其夹角，则这两个三角形全等”的量化，又是勾股定理的推广．本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上，应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题．

在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时，需注意以下几点：

①在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在（0，π）内不严格单调，所以角的个数可能不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解，不多解．

②在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时，余弦定理会省去取舍的麻烦，但同时要注意在根据三角函数求角时，应先确定其范围．

③在进行边角，角边转换时，注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式．

讨论结果：

（1）、

（2）、（5）略．

（3）在应用两个定理求解时，注意与平面几何知识的融合．若求解一个三角形时两个定理都可用，则求边宜选正弦定理，求角宜选余弦定理，但要具体问题具体分析，从中选择最优解法．

（4）本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题．

例1判断满足下列条件的三角形形状．

（1）acosA＝bcosB；

（2）sinC＝.

教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪些．学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径：

（1）化边为角，

（2）化角为边．鼓励学生尽量一题多解，比较各种解法的优劣．

解：

（1）方法一：

用余弦定理，得a×

＝b×

.

∴c2（a2－b2）＝a4－b4＝（a2＋b2）（a2－b2）．

∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.

∴三角形是等腰三角形或直角三角形．

方法二：

用正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，

∴sin2A＝sin2B.

∵A、B为三角形的内角，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°

∴A＝B或A＋B＝90°

因此三角形为等腰三角形或直角三角形．

（2）方法一：

先用正弦定理，可得c＝，即c·

cosA＋c·

cosB＝a＋b.

再用余弦定理，得c·

＋c·

＝a＋b.

化简并整理，得a3＋b3＋a2b＋ab2－ac2－bc2＝0，

（a＋b）（a2＋b2－c2）＝0.

∵a＞0，b＞0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.

∴三角形为直角三角形．

∵sinA＝sin（B＋C），sinB＝sin（A＋C），

∴原式可化为sinC·

cosA＋cosB·

sinC

＝sinA＋sinB＝sin（B＋C）＋sin（A＋C）

＝sinB·

cosC＋cosB·

sinC＋sinA·

cosC＋cosA·

sinC.

∴sinB·

cosC＋sinA·

cosC＝0，

即cosC（sinA＋sinB）＝0.

∵0°

＜A＜180°

，0°

＜B＜180°

，

∴sinA＋sinB≠0.∴cosC＝0.

又∵0°

＜C＜180°

，∴C＝90°

.∴三角形为直角三角形．

点评：

第

（1）题中的第2种解法得出sin2A＝sin2B时，很容易直接得出2A＝2B，所以A＝B.这样就漏掉了一种情况，因为sin2A＝sin2B中有可能推出2A与2B两角互补，这点应引起学生注意．第

（2）题中绕开正、余弦定理通过三角函数值的符号判定也是一种不错的选择，但学生不易想到，因此熟悉三角形中sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）等常见结论对解三角形大有益处．

变式训练

　△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cosB等于（　　）

A.B.C.D.

答案：

B

解析：

由题意得＝＝＝＝2cosB，cosB＝.

例2在△ABC中，若△ABC的面积为S，且2S＝（a＋b）2－c2，求tanC的值．

本题涉及三角形的面积，面积公式又是以三角形的三边a、b、c的形式给出，从哪里入手考虑呢？

教师可先让学生自己探究，学生可能会想到将三角形面积公式代入已知条件，但三角形面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA有三个，代入哪一个呢？

且代入以后的下一步方向又是什么呢？

显然思路不明．这时教师适时点拨可否化简等式右边呢？

这样右边为（a＋b）2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab.用上余弦定理即得a2＋b2－c2＋2ab＝2abcosC＋2ab，这就出现了目标角C，思路逐渐明朗，由此得到题目解法．

由已知，得（a＋b）2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab

＝2abcosC＋2ab＝2×

absinC.

∴2（1＋cosC）＝sinC，

2×

2cos2＝2sin·

cos.

，∴0°

＜＜90°

，即cos≠0.

∴tan＝2.∴tanC＝＝＝－.

通过对本题的探究，让学生认识到拿到题目后不能盲目下手，应先制定解题策略，寻找解题切入口．

　在△ABC中，tanA＝，tanB＝.

（1）求角C的大小；

（2）若AB边的长为，求BC边的长．

（1）∵C＝180°

－（A＋B），

∴tanC＝－tan（A＋B）＝－＝－1.

，∴C＝135°

（2）∵tanA＝＝，sin2A＋cos2A＝1,0°

＜A＜90°

∴sinA＝.

由正弦定理，得＝，∴BC＝AB·

＝.

例3将一块圆心角为120°

，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有如图

（1）、

（2）的两种裁法：

让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？

并求出这个最大值．

本题是北京西城区的一道测试题，解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤，让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型，然后用相关的数学知识来解决．

按图

（1）的裁法：

矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设∠MOA＝θ，则|MP|＝20sinθ，|OP|＝20cosθ，从而S＝400sinθcosθ＝200sin2θ，即当θ＝时，Smax＝200.

按图

（2）的裁法：

矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠MOQ＝θ，在△MOQ中，∠OQM＝90°

＋30°

＝120°

（1）

（2）

由正弦定理，得|MQ|＝＝sinθ.

又因为|MN|＝2|OM|sin（60°

－θ）＝40sin（60°

－θ），

所以S＝|MQ|·

|MN|＝sinθsin（60°

－θ）

＝{－[cos60°

－cos（2θ－60°

）]}＝[cos（2θ－60°

）－cos60°

]．

所以当θ＝30°

时，Smax＝.

由于＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为cm2.

正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用．从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决．

　设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.

（1）求边长a；

（2）若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.

（1）由acosB＝3与bsinA＝4，两式相除，得

＝＝·

＝·

又acosB＝3，知cosB＞0，

则cosB＝，sinB＝.

则a＝5.

（2）由S＝acsinB＝10，得c＝5.

由cosB＝＝，

解得b＝2.故△ABC的周长l＝a＋b＋