高中数学高考题详细分类考点44 曲线与方程圆锥曲线的综合应用文档格式.docx
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3.(2013·
江西高考理科·
T14)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=___________.
【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为P,可构造p的方程解决.
【解析】由题意知△ABF的高为P,将代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为,因为△ABF为等边三角形,所以,从而解得,即.
【答案】6.
4.(2013·
安徽高考理科·
T13)已知直线交抛物线于两点。
若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为___________
【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为的圆,数形结合可得。
【解析】联立直线与抛物线得,满足题设条件的点C的轨迹是以为圆心,为半径的圆,其方程为。
由数形结合可知当时满足题设要求,解得。
【答案】.
三、解答题
5.(2013·
北京高考理科·
T19)已知A、B、C是椭圆W:
上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积.
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
【解题指南】
(1)利用OB的垂直平分线求出AC的长,再求面积;
(2)若是菱形,则OA=OC,A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
【解析】
(1)线段OB的垂直平分线为,或,,所以菱形面积为|OB|·
|AC|=×
2×
=.
(2)四边形OABC不可能是菱形,只需要证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.
设OA=OC=r(r>
1),则A、C为圆与椭圆的交点.
,,所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等,
此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.
6.(2013·
江西高考文科·
T20)椭圆C:
(a>
b>
0)的离心率,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:
2m-k为定值.
(1)借助椭圆中的关系及两个已知条件即可求解;
(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最终把m表示成k的形式,就可求出定值;
另外也可设点P的坐标,把k与m都用点P的坐标来表示.
(1)因为,所以,又由得,代入a+b=3,得.故椭圆C的方程为.
(2)方法一:
因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为,
将代入,解得P.
直线AD的方程为:
.
联立解得M.
由D(0,1),P,N(x,0)三点共线可知,即,所以点.
所以MN的斜率为m,
则(定值).
方法二:
设,则,直线AD的方程为,
直线BP的方程为,直线DP的方程为.
令y=0,由于,可得.
解可得M,
所以MN的斜率为
故
(定值).
7.(2013·
广东高考文科·
T20)已知抛物线的顶点为原点,其焦点()到直线:
的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3)当点在直线上移动时,求的最小值.
【解题指南】本题以抛物线的切线为载体,考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中,抛物线的性质需要熟练运用.
(1)因为到直线:
的距离为,即,所以(注意),可得抛物线的方程为;
(2)设切点,则.
对(即)求导可得,切线的斜率为,将和代入整理可得,同理切线的斜率为,将和代入整理可得,由可得点都适合方程,也就是当点为直线上的定点时,直线的方程即为.
(3)由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离,所以,.
联立方程,消去整理得,由一元二次方程根与系数的关系可得,,所以.
又,则,所以当时,取得最小值,且最小值为.
8.(2013·
广东高考理科·
9.(2013·
重庆高考理科·
T21)如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若⊥,求圆的标准方程.
【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆外且⊥求出圆的方程.
(Ⅰ)设椭圆方程为+=1(a>
0),由题意知点在椭圆上,则从而由,得从而
故该椭圆的标准方程为
(Ⅱ)由椭圆的对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则
.
设,由题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此,上式当时取最小值,又因为,所以上式当时取最小值,从而,且
因为⊥,且所以
即.由椭圆方程及得,
解得.从而
故这样的圆有两个,其标准方程分别为
10.(2013·
重庆高考文科·
(Ⅱ)取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.求的面积的最大值,并写出对应的圆的标准方程.
【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆外可求的面积的最大值以及圆的方程.
(Ⅰ)由题意知点在椭圆上,则从而
由,得从而
由对称性知故,所以
当时,的面积取到最大值.
此时对应的圆的圆心坐标为,半径因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为
11.(2013·
新课标Ⅰ高考文科·
T21)与(2013·
新课标Ⅰ高考理科·
T20)相同
已知圆:
圆:
动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于A,B两点,当圆的半径最长时,求.
(Ⅰ)根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线C的方程.
(Ⅱ)结合图象,确定当圆的半径最长时的情形,并对的值进行分类求解.
【解析】由已知得圆的圆心为,半径;
圆圆心为,半径.设圆的圆心为,半径为
(Ⅰ)动圆与外切并且与圆内切。
,所以
由椭圆定义可知,曲线是以,为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.
(Ⅱ)对于曲线上任意一点,由于,所以,当且仅当圆的圆心为时,,所以当圆的半径最长时,其方程为.
若的倾斜角为,则与轴重合,可得.
若的倾斜角不为,由,知不平行于轴,设与轴的交点为,
则,可求得,所以可设:
,由与圆相切得,解得.
当时,将代入,并整理得,
解得,,所以.
当时,由图形的对称性可知.
综上,或.
12.(2013·
T20)如图,椭圆经过点P(),离心率,直线l的方程为x=4.
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:
是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?
若存在,求λ的值;
若不存在,说明理由
(1)注意到点P在椭圆上,与可求出椭圆中的a,b,进而可写出椭圆的方程;
(2)设出直线AB的方程,联立直线与椭圆方程,结合A、F、B三点共线可得k1+k2与k3的关系,进而可求λ的值
(1)由在椭圆上得,
依题设知a=2c,则a2=4c2,,
将代入得故椭圆C的方程为.
由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为
代入椭圆方程并整理得
设,则有
在方程中令x=4得M(4,3k).
从而
注意到A、F、B三点共线,则有,即.
所以
将代入得
又,所以故存在常数符合题意.
设,则直线FB的方程为:
,
令x=4,求得,
从而直线PM的斜率为,
联立,解得,
则直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,
所以,故存在常数符合题意.
13.(2013·
湖北高考文科·
T22)与(2013·
湖北高考理科·
T21)相同
如图,已知椭圆C1与C2的中心坐标原点O,长轴均为MN且在X轴上,短轴长分别为2m,2n(m>
n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D。
记λ=,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.。
(Ⅰ)当直线l与轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;
(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得S1=λS2?
并说明理由
【解题指南】(Ⅰ)由S1=λS2列出方程解出λ的值,验证λ>
1得λ的值.(Ⅱ)先假设存在,看是否能求出符合条件的λ,如果推出矛盾就是不存在.
【解析】依题意可设椭圆和的方程分别为
:
,:
.其中,
(Ⅰ)方法1:
如图1,
图1
若直线与轴重合,即直线的方程为,则
,,所以.
在C1和C2的方程中分别令,可得,,,
于是.
若,则,化简得.由,可解得.
故当直线与轴重合时,若,则.
方法2:
如图1,若直线与轴重合,则
,;
,.
所以.
(Ⅱ)方法一:
如图2,
图2
若存在与坐标轴不重合的直线,使得.根据对称