山东新高考数学二轮复习专题突破练17空间中的平行与空间角Word文档格式.docx
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4.
（2019安徽“江南十校”二模,理18）已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,△ADE与△BCF为边长为2的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.
平面ADE∥平面BCF;
（2）求BD与平面BCF所成角的正弦值.
5.
（2019四川宜宾二模,理19）如图,四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,G是AB中点.
EG∥平面BCF;
（2）若AE=AB,∠BAD=60°
求二面角A-BE-D的余弦值.
6.
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°
E是PD的中点.
直线CE∥平面PAB;
（2）点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°
求二面角M-AB-D的余弦值.
7.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
PB∥平面AEC;
（2）设二面角D-AE-C为60°
AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
8.
（2019河北衡水同卷联考,理18）如图,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°
四边形ABEF是直角梯形,∠FAB=90°
AF∥BE,AF=AB=2BE=2.
CE∥平面ADF;
（2）若平面ABCD⊥平面ABEF,H为DF的中点,求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值.
参考答案
专题突破练17 空间中的
平行与空间角
1.
（1）证明连接GO,OH,∵GO∥CD,OH∥AC,∴GO∥平面ACD,OH∥平面ACD,又GO交HO于点O,∴平面GOH∥平面ACD,∴GH∥平面ACD.
（2）解以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,CD为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则C（0,0,0）,B（2,0,0）,A（0,2,0）,O（1,1,0）,E（2,0,2）.
平面BCE的法向量m=（0,1,0）,设平面OCE的法向量n=（x0,y0,z0）.
=（2,0,2）,=（1,1,0）.
令x0=-1,∴n=（-1,1,1）.
∵二面角O-CE-B是锐二面角,记为θ,
∴cosθ=|cos<
m,n>
|=
2.
（1）证明取MD的中点N,连接EN,FN.
∵E为AM的中点,∴EN∥AD.
又M为PD的中点,N为MD的中点,∴PN=3ND.
∵PF=3FB,∴FN∥BD.
∵EN∩FN=N,AD∩BD=D,∴平面ENF∥平面ABCD,
∵EF⊂平面ENF,∴EF∥平面ABCD.
（2）解∵平面PDC⊥平面ABCD,PD⊥DC,
∴PD⊥平面ABCD.
设AB的中点为G,以D为坐标原点,DG为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,则B（,1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,4）,则=（-,1,0）,=（0,-2,4）,
设平面PBC的法向量n=（x,y,z）,
则
取x=2,得n=（2,2）,
同理得平面PAD的法向量m=（,3,0）,设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ,则cosθ=,
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
3.
（1）证明取AD的中点O,连接EO,OB.
∵E为PA的中点,O为AD的中点,
∴OE∥PD.
又∵BC∥AD,BC=AD,
∴四边形BCDO是平行四边形,
∴BO∥CD.
∵OE∥PD,BO∥CD,OE和BO是平面EBO内的两条交线,
∴平面EBO∥平面PCD.
又BE⊂平面PCD,
∴BE∥平面PCD.
（2）解取BC的中点M,以方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.
则P（0,0,1）,A（0,-1,0）,D（0,1,0）,C,0,则平面PCD的一个法向量为n1=（1,0,0）,
=（0,1,-1）,=-,0.
设平面PDC的一个法向量为n2=（x,y,z）,则
不妨令x=1,则y=,z=1,n2=（1,）,
∴|cosθ|=|cos<
n1,n2>
|=,则sinθ=
4.
（1）证明取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.
由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2,可知△ABC,△DEF为等腰直角三角形,故OA⊥BC,O1F⊥DE,CD⊥DE,CD⊥DF,故CD⊥平面DEF,平面BCDE⊥平面DEF,所以O1F⊥平面BCDE.
同理OA⊥平面BCDE,
所以O1F∥OA,而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,
所以AO1∥OF,所以AO1∥平面BCF,
又BC∥DE,故DE∥平面BCF,而AO1∩DE=O1,
所以平面ADE∥平面BCF.
（2）解
以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.
则有B（1,1,0）,C（-1,-1,0）,D（-1,-1,2）,F（-1,1,2）,
故=（-2,-2,2）,=（-2,-2,0）,=（-2,0,2）.
设平面BCF的法向量为n=（x,y,z）,由n,n得取x=1得y=-1,z=1,
故平面BCF的一个法向量为n=（1,-1,1）.
设BD与平面BCF所成角为θ,则
sinθ=|cos<
n>
|
=
故BD与平面BCF所成角的正弦值为
5.
（1）证明设AC∩BD=O,连接OE,OF.
∵四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,
∴OE∥CF,∴EF=AO=CO,∴OF⊥平面ABCD.
设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则E（a,0,c）,G,0,B（0,b,0）,C（-a,0,0）,F（0,0,c）.
=（0,b,-c）,=（-a,0,-c）,=-,-,-c,
设平面BCF的法向量为n=（x,y,z）,
取z=b,得n=-,c,b,
∵n=-·
-+c+（-c）·
b=0,∴EG∥平面BCF.
（2）解设AE=AB=2,∵∠BAD=60°
∴OB=1,OA=,
∴A（,0,0）,B（0,1,0）,E（,0,2）,D（0,-1,0）,=（,-1,2）,=（,-1,0）,=（0,-2,0）.
设平面ABE的法向量n=（x,y,z）,
取x=1,得n=（1,,0）,
设平面BDE的法向量m=（x,y,z）,
取x=2,得m=（2,0,-）,
设二面角A-BE-D的平面角为θ,则cosθ=
∴二面角A-BE-D的余弦值为
6.
（1）证明取PA的中点F,连接EF,BF.
因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°
得BC∥AD,
又BC=AD,所以EF
BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,
又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.
（2）解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,P（0,1,）,=（1,0,-）,=（1,0,0）.
设M（x,y,z）（0<
x<
1）,则=（x-1,y,z）,=（x,y-1,z-）.
因为BM与底面ABCD所成的角为45°
而n=（0,0,1）是底面ABCD的法向量,
所以|cos<
|=sin45°
,
即（x-1）2+y2-z2=0.①
又M在棱PC上,设=,则
x=λ,y=1,z=②
由①②解得（舍去）,
所以M,从而
设m=（x0,y0,z0）是平面ABM的法向量,则
即
所以可取m=（0,-,2）.
于是cos<
因此二面角M-AB-D的余弦值为
7.
（1）证明连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
（2）解因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,
则D（0,,0）,E
设B（m,0,0）（m>
0）,
则C（m,,0）,=（m,,0）,
设n1=（x,y,z）为平面ACE的法向量,
可取n1=
又n2=（1,0,0）为平面DAE的法向量,由题设|cos<
|=,即,解得m=
因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为
三棱锥E-ACD的体积V=
8.
（1）证明（方法一）因为四边形ABCD是菱形,所以AD∥BC.
又因为AF∥BE,AF∩AD=A,BC∩BE=B,所以平面ADF∥平面BCE.
因为CE⊂平面BCE,
所以CE∥平面ADF.
（方法二）取AF的中点M,连接DM,EM,如图.
由题意知AM=BE且AM∥BE,
所以四边形ABEM为平行四边形,即ME=AB且ME∥AB.
又因为四边形ABCD是菱形,所以四边形DCEM为平行四边形,即有DM∥CE.
又DM⊂平面ADF,CE⊄平面ADF,所以CE∥平面ADF.
（2）解取CD的中点N,在菱形ABCD中,∠ABC=60°
可得AN⊥CD.
因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AF⊂平面ABEF,AF⊥AB,所以AF⊥平面ABCD.
以A为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
故A（0,0,0）,C（,1,0）,D（,-1,0）,F（0,0,2）,H,-,1,=,-,1,=（,1,0）.
设平面ACH的一个法向量为n=（x,y,z）,则有
令x=1可得n=（1,-,-）.
易知平面ABEF的一个法向量为m=（1,0,0）.
设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ,则cosθ=,
即所求二面角的余弦值为
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