届甘肃省兰州一中高三月考数学理试题解析版Word下载.docx

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2诱导公式；

3三角恒等变换．

4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A．若

B．若

C．若

D．若

【答案】C

垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，所以A选项不正确；

两个平面内存在两条平行的直线时，两平面可能相交，也可能平行，所以B选项不正确；

，又，，所以C选项正确；

若，则或，所以D不正确．

【考点】1线面位置关系；

2面面位置关系．

【易错点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要抓住题目中的重要字眼“真命题”，否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．

5．如图所示，点是函数图象的最高点，M、N是图象与轴的交点，若，则等于（）

由题意可得．

由图像的对称性可知为的中点，所以在中，．

，．故C正确．

【考点】1正弦函数图像；

2三角函数解析式．

【思路点晴】本题主要考查的是求三角函数的形式．根据图像可得的值，为振幅所以，其中跟周期有关，应先求周期，等于半个周期从而可得周期，即可得．

6．外接圆圆心O，半径为1，且，则向量在向量方向的投影为（）

A．B．C．D．

【答案】A

，由向量加法的平行四边形法则可得为的中点．

为的外接圆的圆心，为直角三角形且．

的外接圆半径为1，．．即为边长为1的正三角形．

在上的投影为．故A正确．

【考点】1向量加法的平行四边形法则；

2三角形外接圆；

3向量的投影．

7．若非零向量满足，且，则与的夹角为（）

A．B．C．D．

，．

设与夹角为，又

，上式可变形为，解得．．故D正确．

【考点】1向量垂直；

2向量数量积公式．

8．不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）

不等式组表示的平面区域为边长为4的正方形，面积为16；

或．

不等式组表示的平面区域为不等式组表示的平面区域内的一部分，其面积为．

所以所求概率为．故B正确．

【考点】1几何概型；

不等式表示平面区域；

3定积分．

9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是，则这个三棱柱的体积是（）

设球的半径为，．

设正三棱柱底面边长为，依题意可得，解得．

此正三棱柱的高为．

所以此正三棱柱的体积为．故D正确．

【考点】几何体的内切球问题．

【思路点睛】本题主要考查几何体的内切球问题，难度稍大．当球与正三棱柱的各面均相切时，球心在底面的射影即为底面正三角形的中心，且球的直径即为棱柱的高．根据球的体积可得球的半径．再用面积相等法可求得底面正三角形的边长．从而可得棱柱的体积．

10．已知函数，n∈N的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标，则＋＋…＋的值为（）

A．1B．1－log20132012C．-log20132012D．－1

．

，，由导数的几何意义可得在点处切线的斜率，

所以在点处切线方程为，令得，即．

．故D正确．

【考点】1导数的几何意义；

2对数的运算．

11．已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（）

A．B．C．D．

由时，，即，渐近线为．

由时，，，。

由导数的几何意义可知当直线与图像在原点相切时．

有两个零点即函数的图像与的图像有2个交点．

结合函数图像可知当直线与图像有1个交点时；

同时当时，函数的图像与的图像也有一个交点，

所以要使有两个零点，只需．故C正确．

【考点】1函数的零点；

2数形结合思想，转化思想．

【思路点晴】本题主要考查的是函数的零点，难度稍大．本题重点在于将零点问题转化为两图像的交点问题．由数形结合即可得出答案．

12．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）

A．B．

C．D．

令，．

，在上恒成立，

在上恒成立．在上单调递增．

，即，，．

故A正确．

【考点】1用导数求函数的单调性；

2用单调性比较大小．

【思路点晴】本题属于用导数研究函数性质问题，难度稍大．根据已知可联想到需构造函数．根据函数的正负得函数的增减区间．根据函数的单调性再比较大小．

二、填空题

13．已知数列为等差数列，，，则．

【答案】2

由等差中项可得，．

由等差中项可得．

【考点】等差中项．

14．设，若的最小值为．

【答案】9

，令，，又，

，当且仅当即，即时取等号．

【考点】基本不等式．

15．已知数列满足，且，则．

【答案】

，，，

，是首项为公差为1的等差数列．

，整理可得．

【考点】构造法求数列的通项公式．

【思路点晴】本题属于构造法求数列通项公式问题，难度较大．根据已知条件变形，构造一个新的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得此等比数列的通项公式，继而可求得．

16．有下列4个命题：

①若函数定义域为R，则是奇函数；

②若函数是定义在R上的奇函数，，，则图像关于x=1对称；

③已知x1和x2是函数定义域内的两个值（x1<

x2），若，则在定义域内单调递减；

④若是定义在R上的奇函数，也是奇函数，则是以4为周期的周期函数．

其中，正确命题是（把所有正确结论的序号都填上）．

【答案】①④

①因为定义域为，所以函数的定义域也为．

，是奇函数．所以①正确；

②因为定义域为上的奇函数，令可得所以，可见函数的图像不关于对称，所以②不正确；

③因为不具有任意性，所以根据函数单调性的定义可知不能判断函数的单调性；

④因为是奇函数，所以，

又函数也为奇函数，，．

，所以函数是以4为周期的周期函数．所以④正确．

总上可得正确的命题为①④．

【考点】1函数的奇偶性，周期性，对称性；

2函数单调性的定义．

三、解答题

17．设数列{an}满足：

a1=1，an+1=3an，n∈N．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn；

（Ⅲ）证明：

对任意n∈N且n≥2，有++…+＜．

（Ⅰ）；

；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）详见解析．

（Ⅰ）由可知数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可得．根据可求得．（Ⅱ）根据，可求得．分析可知应用错位相减法求．（Ⅲ）先用放缩法证得，即可证得．

试题解析：

解：

（Ⅰ），是公比为3，首项的等比数列，

∴通项公式为．

∵，∴当时，，

．∴当时，，，

是公比为2，首项的等比数列，∴通项公式为．

（Ⅱ），

①

②

①–②得：

（Ⅲ）

…………12分

【考点】1等比数列的定义；

2求数列的通项公式；

3求数列的和；

4放缩法证明不等式．

18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD‖BC，，平面⊥底面，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．

（Ⅰ）求证：

平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．

（Ⅰ）详见解析；

（Ⅱ）．

（Ⅰ）易证得四边形为平行四边形，可得．根据面面垂直的判定定理可得平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理可证得面，从而可以为原点以分别为轴建立空间直角坐标系．根据可用表示出的坐标．由各点的坐标可得各项量的坐标．根据向量垂直数量积等于0可得面和面的法向量．两法向量的夹角等于或．根据两法向量的数量积可得的值．

（1）证法一：

∵∥，，为的中点，

∴四边形为平行四边形，∴∥．

，，即．

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

∵平面，∴平面平面．

证法二：

∵∥，，为的中点，∴四边形为平行四边形，

∴∥．

∵，∴．

∵，面，

∵AD⊂平面，∴平面平面．

（2）法一：

∵，为的中点，∴．

∵面面，且面面，∴面．

如图，

以为原点建立空间直角坐标系．则平面的法向量为；

，，，．

设，则

，

在平面中，

∴平面法向量为．

∵二面角为，，

得

法二：

过点作//交于点，过作交于点，连接，

因为面，所以面，由三垂线定理知，

则为二面角的平面角。

（没有证明扣2分）

设，

，且三线都共面，所以//

，，

在中，

解得

【考点】1线面垂直，面面垂直；

2二面角．

【易错点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角，属于中档题．用空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用解题时一定要注意二面角两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，否则很容易出现错误．

19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：

（单位：

人）

（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用

的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女

生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

附表及公式

（Ⅰ）有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

（Ⅰ）根据表中数据计算的观测值，若大于说明有的把握认为视觉和空间能力与性别有关，否则说明无关．（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟根据题意可得关于的约束条件，从而可得其可行域．“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为，根据几何概型概率公式可求得所求概率．（Ⅲ）可能取值为，根据排列组合可求得从8名女生中任意抽取两人共有多少种可能，再根据排列组合也可求得取值分别为时各有