13 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词文档格式.docx

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（2）存在量词：

短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称

语言表示

符号表示

命题的否定

全称命题

对M中任意一个x，有p（x）成立

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，綈p（x0）

特称命题

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

知识拓展

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

（1）p∨q：

p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．

（2）p∧q：

p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．

（3）綈p：

与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：

命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）命题“3≥2”是真命题．（　√　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（3）若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（　√　）

（4）“全等三角形的面积相等”是特称命题．（　×

　）

（5）命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．（　×

题组二　教材改编

2．[P18B组]已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　B

解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．

3．[P28T6（4）]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．

答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形

题组三　易错自纠

4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；

反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.

5．（2017·

贵阳调研）下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x0∈R，lgx0＝1B．∃x0∈R，sinx0＝0

C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0

答案　C

解析　当x＝10时，lg10＝1，则A为真命题；

当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；

当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；

由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．

故选C.

6．已知命题p：

∀x∈R，x2－a≥0；

命题p：

∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．

答案　（－∞，－2]

解析　由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．（2018·

济南调研）设a，b，c是非零向量．已知命题p：

若a·

b＝0，b·

c＝0，则a·

c＝0；

命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）

解析　如图所示，

若a＝，b＝，c＝，则a·

c≠0，命题p为假命题；

显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.

2．（2017·

山东）已知命题p：

∀x＞0，ln（x＋1）＞0；

若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）

解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln（x＋1）＞ln1＝0.

∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．

∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，

此时a2＜b2，

∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧（綈q）为真命题，（綈p）∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题．

故选B.

3．已知命题p：

若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：

在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：

①p∧q为真；

②p∨q为假；

③p∨q为真；

④（綈p）∨（綈q）为假．

其中，正确的是________．（填序号）

答案　②

解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；

命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．

思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、特称命题的真假

典例下列四个命题：

p1：

∃x0∈（0，＋∞），；

p2：

∃x0∈（0,1），；

p3：

∀x∈（0，＋∞），x＞；

p4：

∀x∈，x＜.

其中真命题是（　　）

A．p1，p3B．p1，p4

C．p2，p3D．p2，p4

答案　D

解析　对于p1，当x0∈（0，＋∞）时，总有成立，故p1是假命题；

对于p2，当x0＝时，有1＝＝＞成立，故p2是真命题；

对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝在（0，＋∞）上的图象，可以判断p3是假命题；

对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝在上的图象，可以判断p4是真命题．

命题点2　含一个量词的命题的否定

典例

（1）命题“∀x∈R，x＞0”的否定是（　　）

A．∃x0∈R，＜0B．∀x∈R，x≤0

C．∀x∈R，x＜0D．∃x0∈R，≤0

解析　全称命题的否定是特称命题，“>

”的否定是“≤”．

（2）（2017·

河北五个一名校联考）命题“∃x0∈R，1＜f（x0）≤2”的否定形式是（　　）

A．∀x∈R，1＜f（x）≤2

B．∃x0∈R，1＜f（x0）≤2

C．∃x0∈R，f（x0）≤1或f（x0）＞2

D．∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2

解析　特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”．

思维升华

（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；

要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p（x0）成立．

（2）对全（特）称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

②对原命题的结论进行否定．

跟踪训练

（1）下列命题是假命题的是（　　）

A．∃α，β∈R，使cos（α＋β）＝cosα＋cosβ

B．∀φ∈R，函数f（x）＝sin（2x＋φ）都不是偶函数

C．∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0（a，b，c∈R且为常数）

D．∀a>

0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点

解析　取α＝，β＝－，cos（α＋β）＝cosα＋cosβ，A正确；

取φ＝，函数f（x）＝sin＝cos2x是偶函数，B错误；

对于三次函数y＝f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f（x）在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0，C正确；

当f（x）＝0时，ln2x＋lnx－a＝0，则有a＝ln2x＋lnx＝2－≥－，所以∀a>

0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点，D正确，综上可知，选B.

福州质检）已知命题p：

“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为（　　）

A．∃x0∈R，－x0－1≥0

B．∃x0∈R，－x0－1>

C．∀x∈R，ex－x－1>

D．∀x∈R，ex－x－1≥0

解析　根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>

0”，故选C.

题型三　含参命题中参数的取值范围

典例

（1）已知命题p：

关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；

关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．

答案　[－12，－4]∪[4，＋∞）

解析　若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，

即a≤－4或a≥4；

若命题q是真命题，

则－≤3，即a≥－12.

∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，

∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞）．

（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________________．

答案　

解析　当x∈[0,3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1,2]时，

g（x）min＝g

（2）＝－m，由f（x）min≥g（x）min，

得0≥－m，所以m≥.

引申探究

本例

（2）中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是___________．

解析　当x∈[1,2]时，g（x）max＝g

（1）＝－m，

由f（x）min≥g（x）max，得0≥－m，

∴m≥.

思维升华

（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．

（2）对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决．

跟踪训练

（1）已知命题“∃x0∈R，使2x＋（a－1）x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,3）

C．（－3，＋∞）D．（－3,1）

解析　原命题的否定为∀x∈R，2x2＋（a－1）x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝（a－1）2－4×

2×

＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.

洛阳模拟）已知p：

∀x∈，2x<

m（x2＋1），q：

函数f（x）＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是__________．

解析　由2x<

m（x2＋1），可得m>

，

又x∈时，max＝，

故当p为真时，m>

；

函数f（x）＝4x＋2x＋1＋m－1＝（2x＋1）2＋m－2，

令f（x）＝0，得2x＝－1，

若f（x）存在零点，

则－1>

0，解得m<

1，

故当q为真时，m<

1.

若“p且q”为真命