版高考数学大二轮复习11集合与常用逻辑用语学案文文档格式.docx

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3}

【解析】　

（1）本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．

（2）本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

通解　∵N＝{x|－2<

3}，M＝{x|－4<

2}，

∴M∩N＝{x|－2<

2}，故选C.

优解　由题得N＝{x|－2<

3}．∵－3∉N，∴－3∉M∩N，排除A，B；

∵2.5∉M，∴2.5∉M∩N，排除D.故选C.

【答案】　

（1）A　

（2）C

1．解答集合问题的策略

先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；

再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的策略为：

（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．

（2）若给定的集合是点集，用图象法求解．

（3）若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．

2．[警示]忽略空集的讨论，若遇到A⊆B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能性.

『对接训练』

1．[2019·

四川南充适应性考试]已知集合P＝，Q＝则（　　）

A．P＝QB．PQ

C．PQD．P∩Q＝∅

解析：

在集合P中，x＝＋＝，k∈Z，在集合Q中，x＝＋＝，k∈Z.因为k∈Z，所以2k＋1为奇数，k＋2为整数，由集合间的关系判断，得PQ.故选B.

答案：

B

2．[2019·

北京延庆一模]已知集合A＝{x|x（x＋1）≤0}，集合B＝{x|－1<

1}，则A∪B＝（　　）

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1<

x≤0}

C．{x|－1≤x<

1}D．{x|0<

1}

解一元二次不等式x（x＋1）≤0，可得A＝{x|－1≤x≤0}，则A∪B＝{x|－1≤x<

1}，故选C.

C

考点2　命题的真假与逻辑联结词

1．四种命题及其关系

（1）四种命题

若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；

否命题是若綈p，则綈q；

逆否命题是若綈q，则綈p.

（2）四种命题间的关系

2．命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

假

[例2]　

（1）[2018·

北京卷]能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0,2]都成立，则f（x）在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________；

福建漳州一中月考]已知命题p：

椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；

命题q：

函数f（x）＝的最小值为.则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧q

C．綈（p∨q）D．p∧（綈q）

【解析】　

（1）设f（x）＝sinx，则f（x）在0，上是增函数，在，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈（0,2]时，f（x）>

f（0）＝sin0＝0，故f（x）＝sinx满足条件f（x）>

f（0）对任意的x∈（0,2]都成立，但f（x）在[0,2]上不一直都是增函数．

（2）p中椭圆＋＝1的焦点坐标分别为（0,4），（0，－4），双曲线－＝1的焦点坐标分别为（4,0），（－4,0），故p为假命题；

q中f（x）＝＝＝＋，设t＝≥2（当且仅当x＝0时，

等号成立），则f（t）＝t＋在区间[2，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝，故q为真命题．所以（綈p）∧q为真命题，故选B.

【答案】　

（1）f（x）＝sinx，x∈[0,2]（答案不唯一）　

（2）B

1．命题真假的判定方法

（1）一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别；

（2）四种命题真假的判断：

一个命题和它的逆否命题同真假，而其他两个命题的真假无此规律；

（3）形如p∧q，p∨q，綈p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定．

2．全称命题与特称命题真假的判定

（1）全称命题：

要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p（x）成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；

（2）特称命题：

要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可；

否则，这一特称命题就是假命题.

3．[2019·

山西芮城期末]在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（　　）

A．（綈p）∨（綈q）B．p∨（綈q）

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨q

“甲测试成绩不优秀”可表示为綈p，“乙测试成绩不优秀”可表示为綈q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为（綈p）∨（綈q）．故选A.

A

4．[2019·

江西临川一中月考]已知命题p：

∀x∈R，x2－2ax＋1>

0；

∃x0∈R，ax＋2≤0.若p∨q为假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．（－∞，－2]D．[－1,1]

∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．若命题p为假命题，则Δ≥0，即4a2－4≥0，解得a≤－1或a≥1；

若命题q为假命题，则a≥0，∴实数a的取值范围是[1，＋∞），故选A.

考点3　充分、必要条件

　充分条件与必要条件的3种判定方法

定义法

正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件（或q是p的必要条件）；

若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件（或q是p的必要不充分条件）．

集合法

利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件（B是A的必要条件）；

若A＝B，则A是B的充要条件．

等价法

将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.

[例3]　

（1）[2019·

天津卷]设x∈R，则“x2－5x<

0”是“|x－1|<

1”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

浙江卷]设a>

0，b>

0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　

（1）本题主要考查充分性与必要性的判断、简单的不等式求解，考查考生的运算求解的能力，考查的核心素养是逻辑推理．

由x2－5x<

0可得0<

5.由|x－1|<

1可得0<

2.由于区间（0,2）是（0,5）的真子集，故“x2－5x<

1”的必要而不充分条件．

（2）本题主要考查充分条件、必要条件，考查考生分析问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理．

通解　因为a>

0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；

当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>

4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.

优解　在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方（第一象限中的部分）与曲线b＝及其左下方（第一象限中的部分），易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.

【答案】　

（1）B　

（2）A

判断充分、必要条件时的3个关注点

要弄清

先后顺序

“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；

而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.

要善于

举出反例

当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．

要注意

转化

綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；

綈p是綈q的充要条件⇔p是q的充要条件.

5．[2019·

甘肃天水一模]设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（　　）

A．充分不必要条件　　　　　

B．充要条件

C．必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，

|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，

故由|a|＝|b|不一定能推出|a＋b|＝|a－b|.

由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，

整理得a·

b＝0，

所以a⊥b，此时不一定能得出|a|＝|b|.

故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.

D

6．[2019·

天津一中月考]已知命题p：

x≥k，命题q：

<

1.如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．[1，＋∞）D．（－∞，1]

由<

1得，－1＝<

0，即（x－2）（x＋1）>

0，解得x<

－1或x>

2，由p是q的充分不必要条件知，k>

2，故选B.

课时作业1　集合与常用逻辑用语

全国卷Ⅱ]设集合A＝{x|x2－5x＋6>

0}，B＝{x|x－1<

0}，则A∩B＝（　　）

A．（－∞，1）B．（－2,1）

C．（－3，－1）D．（3，＋∞）

本题考查不等式的求解、集合的交运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

因为A＝{x|x2－5x＋6>

0}＝{x|x>

3或x<

2}，B＝{x|x－1<

0}＝{x|x<

1}，所以A∩B＝{x|x<

1}，故选A.

宁夏中卫一模]命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（　　）

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

四川内江、眉山等六市诊断性考试]已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（　　）

A．4B．3

C．2D．1

由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况，所以选A.

广东广州一测]已知集合A＝{x|x2－2x<

0}，B＝{x|2x>

1}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

A＝{x|0<

2}，B＝{x|x>

0}，故A⊆B，故选D.