中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型Word文档格式.docx

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A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．

【解答】如图所示：

当PE∥AB．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°

，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，

由翻折的性质可知：

PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°

．

∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°

．由垂线段最短可知此时FD有最小值．

又∵FP为定值，∴PD有最小值．

又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．

∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：

DF＝3.2．

∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：

3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°

则∠ADC的度数为____度　　

【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，

∴∠ACD=1/2∠ABD,∠DAC=1/2∠DBC,

∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=80°

∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2（∠ABD+∠DBC）=1/2×

80°

=40°

∴∠ADC＝180°

﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°

﹣40°

＝140°

故答案为：

140．

4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°

，∠CAD＝75°

，则∠BDC＝　　度，∠DBC＝_____度．

【解析】法一：

∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，

∵∠BAC＝25°

，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°

，

∵∠CAD＝75°

，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°

12.5，37.5．

法二：

∵AB＝AC＝AD，

∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，

∴∠ACB＝（180°

﹣25°

）÷

2＝77.5°

，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°

∠ADC＝∠ACD＝（180°

﹣75°

2＝52.5°

∴∠ADB＝（180°

﹣100°

2＝40°

∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°

＝12.5°

∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°

+77.5°

＝130°

∴∠DBC＝180°

﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°

﹣130°

﹣12.5°

＝37.5°

∴∠BDC＝12.5°

，∠DBC＝37.5°

类型2直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题

5.如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．

【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；

∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．

【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：

2．

【点评】本题主要考查了圆周角定理：

直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．

6.已知：

如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°

，则C、D两点之间的距离为_____．

【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°

，根据90°

的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：

CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．

【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°

，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，

连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，

∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：

2√5．

【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°

的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以AB为直径的圆上．

7.已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°

，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）

（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？

若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；

若不可能，请说明理由．

【分析】

（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．

（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°

．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：

一是半圆和AB相切；

二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围．

【解答】

（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°

，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；

∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；

又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．

（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．

以CQ为直径作半圆D，

①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则

DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；

设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；

在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，

即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；

即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．

②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形

③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°

，此时△CPQ不可能为直角三角形．

∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．

8.已知平面直角坐标系中两定点A（-1,0）,B（4,0）,抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P（m,n）为抛物线上一点,其中n<

0.

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标;

（2）当∠APB为钝角时,求m的取值范围.

（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．

（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；

]

解:

（1）

（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，

∴a-b-2=0,16a+4b-2=0，解得：

a=1/2,b=-3/2，

∴抛物线的解析式为：

y＝1/2x﹣3/2x﹣2，

当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；

（2）∵A（-1,0）,B（4,0）,抛物线与y轴的交点D的坐标为（0,-2）,

如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M（3/2,0）,

∵AD=1+2=5,AB=（4+1）=25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,

由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°

以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,

根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为（3,-2）,

则满足条件的m的取值范围为:

-1<

m<

0或3<

4.

类型3　四点共圆模型

（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；

（2）动点对定线段所张的角为定值.

9.如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．

【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．

∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），

10.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°

时，点C的坐标为_____．

【分析】如解答图所示，构造含有90°

圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．

注意点C有两个．

【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．

（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°

，PA＝PB＝5√2；

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，

∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°

，即则点C即为所求．

过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，

在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：

CF＝7，

∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，

∴点C坐标为（0，12）；

（2）如答图2所示，在第3象限可以参照

（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．

（0，12）或（0，﹣12）．

【点评】本题难度较大．由45°

的圆周角联想到90°

的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．

11.已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆