线段的和差倍分问题的证明Word格式文档下载.docx
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DM=AB
对应练习
1、已知:
如图所示,点D、E分别是等边的边AC、BC上的点,AD=CE,BD、AE交于点P,于Q.求证:
.
2、如图所示,在中,AB=AC,,BE平分,交AC于D,于E点,求证:
3、如图所示,在中,,D是BC的中点,M是BD的中点.求证:
AC=2AM.
4、已知:
如图所示,D是的边BC上一点,且CD=AB,,AE是的中线.求证:
AC=2AE.
5、已知:
如图所示,锐角中,,BE是角平分线,,垂足是D.求证:
AC=2BD.
二、割补线段法
这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式,在相关线段或其延长线上构造一线段,使之能够表示几条线段的和差倍分关系,从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时,往往通过添辅助线,构造出能表示线段的和差倍分关系的线段,促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析,想一想,图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段,否则乱添加辅助线只能把图形复杂化,使思路步人歧途。
下面请看一个例子。
例2、P是正方形ABCD的边BC上的任意一点,AQ平分∠PAD.
AP=BP+DQ.
例3、如图,△ABC中,∠BAC=90°
,AE是经过点A的一条直线,交BC于F,且B、C在AE在的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,
DB=DE+CE。
1、如图所示,已知中,,BD、CE分别平分和,BD、CE交于点O.求证:
BE+CD=BC.
2、如图所示,已知中,,CD是的平分线,求证:
BC=AC+AD.
3、如图所示,若E为正方形ABCD的边BC上一点,AF为的平分线,AF与CD相交于F点.求证:
AE=BE+DF.
4、如图所示,等边和等边,点A在DE的延长线上,求证:
BD+DC=AD.
三、比例线段法
即找出与所证明有关的比例式,通过对比例式进行变形或重新组合,从而得出线段之间的和差倍分关系。
例5如图,在△ABC中,BD是∠B的平分线,△ABD的外接园交BC于E,若AB=AC,
CE=2AD。
证明线段的和差倍分问题作业
1、如图所示,在等腰三角形ABC中,P是底边BC上的任意一点.
(1)求证:
P点到两腰的距离之和等于腰上的高.
(2)若P点在BC的延长线上,那么点P到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系?
2、如图所示,等腰三角形ABC中,AB=AC,,BD平分.求证:
BC=AB+DC.
3、如图所示,已知是等腰三角形,AB=AC,,AD和CE是高,它们相交于H,求证:
AH=2BD.
分析:
如图,因为AB等于△ABC的
中位线NM的长,所以原命题就转化为证明DM=NM。
∵DN为Rt△ADC斜边上的中线,∴DN=NC;
∴∠2=∠C,又∵2∠C=∠B=∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C,∴DM=MN,问题得证。
说明:
证明线段的和差倍分问题,大都是采取间接的方法进行,即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。
“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想,它通过对原问题进行变形,促使矛盾的转移,从而达到化未知为已知,化难为易,化繁为简的目的,一般说来,运用定理法证明线段的和差倍分问题,就是根据有关定理将原命题转化后再证明。
2、已知:
如图所示,在中,AB=AC,,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证:
CM=2BM.
能力挑战1、如图所示,在中,,D是BC的中点,M是BD的中点.求证:
能力挑战2、已知:
如图所示,在中,BD是AC边上的中线,BH平分,分别交BD、BH、BC于E、G、F.求证:
2DE=CF.
【经典练习】
1、如图所示,已知中,,AD=DB,.求证:
3、已知:
如图所示,在中,AB=AC,,D是BC的中点,于E.求证:
EB=3EA.
如图所示,在中,AB=AC,,P是BC上一点,且.求证:
PB=2PC.
6、如图所示,在中,AB=AC,,BE平分,交AC于D,于E点,求证:
例2如图,在△ABC中,BD=FC,FG∥DE∥BA,D、F在BC上,E、G在AC上.
FG=AB-DE
本题的关键在于构造一条线段,
使之等于(AB-DE),如图,在AB上载取线
段AH=DE,则AB-DE=BH,从而把原命题转化
为证明FG=BH的问题,进而通过证△BHD≌FGC,使原命题得证。
例3如图,P是正方形ABCD的边BC上的任意一点,AQ平分∠PAD.
证明:
延长PB至E,使BE=DQ,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=AD,∠EBA=∠QDA=90°
∴△ABE≌△ADQ,∴∠E=∠4,∠3=∠1,
∵∠1=∠2,∴∠3=∠2,∴∠PAQ=∠BAQ=∠4
∴∠E=∠PAE,∴PE=AP,既BP+BE=AP,
∴BP+DQ=AP
例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差,例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和,从而将原命题转化为两条线段的问题,值得注意的是:
在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时,是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”,还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”,这不能取决于原命题的和差倍分形式。
因为“和”与“差”,“倍”与“分”是可以互相转化的。
因此,我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件,即所割补的线段不是“孤立”的,而应能够与原来的图形产生联系。
从以上三个例题可知,在证明线段的和差倍分关系时,往往通过添辅助线,构造出能表示线段的和差倍分关系的线段,促使问题的转化。
例4如图,△ABC中,∠BAC=90°
通过分析题目的已知条件可知:
△ABD≌△CAE,从而得AD=CE,则DE+CE=AE,
而BD=AE,原命题得证。
常规题型1、如图所示,已知中,,BD、CE分别平分和,BD、CE交于点O.求证:
能力挑战1、如图所示,在等腰直角三角形ABC中,,AD=AE,交BC于F,过点F作于M,交BE延长线于点G,求证:
BG=AF+FG.
能力挑战2、如图所示,在中,AB=AC,,BE平分,求证:
AE+BE=BC.
【练习】
1、如图所示,已知中,,CD是的平分线,求证:
2、如图所示,若E为正方形ABCD的边BC上一点,AF为的平分线,AF与CD相交于F点.求证:
3、如图所示,已知和均为等边三角形,B、C、D在一直线上,求证:
CE=AC+CD.
4、如图所示,已知在中,,AC=BC,AD是的平分线,求证:
AB=AC+CD.
5、如图所示,等边和等边,点A在DE的延长线上,求证:
分析与证:
因为“CE=2AD”与“AB=AC”的倍分关系一致,因此想办法通过比例式将这些线段联系起来,连接DE,则∠CDE=∠ABC,故△CDE∽△CBA,得CE:
DE=AC:
AB=2,又由BD为∠ABC的平分线得DE=AD,所以CE:
AD=2,即CE=2AD。
运用定理法、割补法和比例线段法是证明线段的和差倍分问题常用的方法,它们的共同点是:
通过变换,促使问题的转化从而达到证明的目的。
鉴于几何问题的复杂多样性,在证明线段的和差倍分问题时,不应局限于这三种方法,而应积极开动脑筋,拓展思路,即能够运用定势思维进行思考,又要防止定势思维的局限性。
证明线段的和差倍分问题作业
4、如图所示,在中,,P是AC的中点,过A过BP的垂线交BC延长线于点D,E是垂足.若,求证:
BP=4PE.