线段的和差倍分问题的证明Word格式文档下载.docx

1、DM = AB对应练习1、已知：如图所示，点D、E分别是等边的边AC、BC上的点，AD=CE，BD、AE交于点P，于Q求证：2、如图所示，在中，AB=AC，BE平分，交AC于D，于E点，求证：3、如图所示，在中，D是BC的中点，M是BD的中点求证：AC=2AM4、已知：如图所示，D是的边BC上一点，且CD=AB，AE是的中线求证：AC=2AE5、已知：如图所示，锐角中，BE是角平分线，垂足是D求证：AC=2BD二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段

2、问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。例2、P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分PAD.AP=BP+DQ.例3、 如图，ABC中，BAC=90，AE是经过点A的一条直线，交BC于F，且B、C在AE在的异侧，BDAE于D，CEAE于E，DB=DE+CE。1、如图所示，已知中，BD、CE分别平分和，BD、CE交于点O求证：BE+CD=BC2、如图

3、所示，已知中，CD是的平分线，求证：BC=AC+AD3、如图所示，若E为正方形ABCD的边BC上一点，AF为的平分线，AF与CD相交于F点求证：AE=BE+DF4、如图所示，等边和等边，点A在DE的延长线上，求证：BD+DC=AD三、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。例5 如图，在ABC中，BD是B的平分线，ABD的外接园交BC于E，若AB=AC，CE=2AD。 证明线段的和差倍分问题作业 1、如图所示，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上的任意一点（1）求证：P点到两腰的距离之和等于腰上的高（2）若P点在BC的延长线上，那么

4、点P到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系？2、如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分求证：BC=AB+DC3、如图所示，已知是等腰三角形，AB=AC，AD和CE是高，它们相交于H，求证：AH=2BD分析：如图，因为AB等于ABC的中位线NM的长，所以原命题就转化为证明DMNM。DN为RtADC斜边上的中线，DN=NC；2=C，又2C=B=1=2+3,2=3=C ，DM=MN，问题得证。说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从

5、而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。2、已知：如图所示，在中，AB=AC，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N求证：CM=2BM能力挑战1、如图所示，在中，D是BC的中点，M是BD的中点求证：能力挑战2、已知：如图所示，在中，BD是AC边上的中线，BH平分，分别交BD、BH、BC于E、G、F求证：2DE=CF【经典练习】1、如图所示，已知中，AD=DB，求证：3、已知：如图所示，在中，AB=AC，D是BC的中点，于E求证：EB=3EA如图所示，在中，AB=AC，P是BC上一点，且求证：PB=2

6、PC6、如图所示，在中，AB=AC，BE平分，交AC于D，于E点，求证：例2 如图，在ABC中，BD=FC，FGDEBA，D、F在BC上，E、G在AC上.FG=AB-DE本题的关键在于构造一条线段，使之等于（AB-DE）,如图，在AB上载取线段AH=DE，则AB-DE=BH，从而把原命题转化为证明FG=BH的问题，进而通过证BHDFGC，使原命题得证。例3 如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分PAD.证明：延长PB至E，使BE=DQ，四边形ABCD是正方形，BA=AD，EBA=QDA=90ABEADQ，E=4，3=1，1=2，3=2，PAQ=BAQ=4E=PAE，PE=AP，

7、既BP+BE=AP，BP+DQ=AP例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差

8、倍分关系的线段，促使问题的转化。例4 如图，ABC中，BAC=90通过分析题目的已知条件可知：ABDCAE ,从而得AD=CE，则DE+CE=AE，而BD=AE，原命题得证。常规题型1、如图所示，已知中，BD、CE分别平分和，BD、CE交于点O求证：能力挑战1、如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AD=AE，交BC于F，过点F作于M，交BE延长线于点G，求证：BG=AF+FG能力挑战2、如图所示，在中，AB=AC，BE平分，求证：AE+BE=BC【练习】1、如图所示，已知中，CD是的平分线，求证：2、如图所示，若E为正方形ABCD的边BC上一点，AF为的平分线，AF与CD相交于F点求证：3、如

9、图所示，已知和均为等边三角形，B、C、D在一直线上，求证：CE=AC+CD4、如图所示，已知在中，AC=BC，AD是的平分线，求证：AB=AC+CD5、如图所示，等边和等边，点A在DE的延长线上，求证：分析与证：因为“CE=2AD”与“AB=AC”的倍分关系一致，因此想办法通过比例式将这些线段联系起来，连接DE，则CDE=ABC，故CDECBA，得CE：DE=AC：AB=2，又由BD为ABC的平分线得DE=AD，所以CE：AD=2，即CE=2AD。运用定理法、割补法和比例线段法是证明线段的和差倍分问题常用的方法，它们的共同点是：通过变换，促使问题的转化从而达到证明的目的。鉴于几何问题的复杂多样性，在证明线段的和差倍分问题时，不应局限于这三种方法，而应积极开动脑筋，拓展思路，即能够运用定势思维进行思考，又要防止定势思维的局限性。 证明线段的和差倍分问题作业 4、如图所示，在中，P是AC的中点，过A过BP的垂线交BC延长线于点D，E是垂足若，求证：BP=4PE