高中数学竞赛专题之数列Word文件下载.docx
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ajl
（脚标和相同则对应的
l1
1
项的和相同）；
若{an}为等比数列，且
ajl（脚标和相同则对
jl，那么
应的项的积相同）。
3：
若{an}为等差数列，记
S1
ai,S2
aik,
Sm
ai
（m1）k,
i
i1
{Sm}仍为等差数列，{an}为等比数列，记P1
ai,P2
Pm
，
那么{Pm}仍为等比数列。
性质4：
若{an}为等比数列，公比为
q，且|q|〈1，则limSn
a1
。
n
q
例1、若{an}、{bn}为等差数列，其前
n项和分别为Sn,Tn
Sn
2n
，若
3n
Tn
则lim
an
）A.1
B.
6
C.
2
4
（
D.
bn
3
9
例2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为
100，则它的前
3m项的和为（
）
A.130
B.170
C.210
D.260
例3、{an}、{bn}为等差数列，其前
31
n项和分别为Sn,Tn，若
31n
（1）求b28的值，
（2）求使bn为整数的所有正整数
n。
a28an
例4、在等差数列{an}
中，若a10
0，则有等式
a1a2
ana1
a2
a19n,（n19,n
N）成立，类比上述性质，相应地：
在等比数列{bn}中，若
b9
1，则有等式
成立。
例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为。
例
6、设
{（十进制）位纯小数0.
|
只取0或1，
1,2,
1}，
anai
nan
Mn
是Mn的元素个数，
Sn是所有元素的和，则lim
7、设A={1,2,n},Sn是A
的所有非空真子集元素的和，
Bn表示A
的子集个数，求
的值。
lim2
nBn
8、设数列{an}的前
n项和为Sn
2an
1,（n
），数列{bn}
满足
b1
3,bk
ak
bk,（k1,2,
），求数列{bn}的前n项和。
方法：
首先找出{an}的通项式，在找出{bn}的通项式
9、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1
b3
a2），
a1,b2a2
a3,（a1
又lim（b1
b2
bn）
1，试求{an}的通项公式。
例10、设Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn
3（an
1）,（n
N），数列{bn}的通项
式为bn
4n
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）若d
{a1,a2,
an,
}
{b1,b2,bn,
}，则称d为数列{an}与{bn}的公共项，
按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列
{dn}，证明：
{dn}的通项公式为
dn
32n1,（nN）。
例11、n2（n4）个正数排成n行n列：
a11,a12,a13,
a1n
a21,a22,a23
a2n
an1,an2,an3,ann
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知
a241,a42
+ann的值。
a43
，求a11+a22+a33
8
16
作业：
1、将正奇数集合{1，3，5，}由小到大按
{9，11，13，15，17}.，则1991位于
n组有（2n-1）个奇数进行分组：
组中。
{1}
、{3，5，7}、
2、在等差数列{an}中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列
a1,a3,ak1,ak2,,akn,成等比数列，求数列{kn}的通项公式。
3、设正数数列{an}满足2
1,bn
2an3，
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）设
2（
mn
ambn
mn
Mam
），试求M的最小值。
二、数学归纳法
数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：
（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；
（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；
（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法：
设T（n）是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：
（1）T
（1）是成立的，
（2）假设T（k）成立能推出T（k1）成立，则命题对一切自然数n都成立。
第二数学归纳法：
（2）假设T
（1），T
（2），T（k）成立能推出T（k1）成立，则命题对一切自然数n都成立。
解题思维过程：
尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。
解题策略：
从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。
例1、已知对任意自然数
n，有an
0且
a3j（
aj）2，求证an
n（1989年高中）
j1
j
例2、用Sn表示1,2,3,
2n的各数的最大奇数因子之和，求证：
（4n
2）
例3、设{an}是正数数列且满足Sn1（an1），求数列{an}的通项公式。
2an
尝试——观察——归纳、猜想——证明
例4、已知数列{xn}
满足：
x1
1，当n1时，
有4（x1xn2x2xn1
3x3xn2
nxnx1）（n1）（x1x2x2x3
xnxn1），试求
数列{xn}的通项公式。
例5、一个数列{Vn}定义如下：
V02,V1
5,Vn1
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